《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

22. (7 分)如图,在$△ABC$中,$AB = AC$,$P是高CE$上一点,$∠EPB = 2∠PBC$.
(1) 求证:$BP ⊥ AC$;
(2) 若$EP = 6$,$BP = 10$,求$AB$的长.

答案：
(1)延长BP交AC于点F.因为$AB=AC$,所以$∠CBE=∠BCF$.因为$∠EPB=∠PBC+∠PCB=2∠PBC$,所以$∠PBC=∠PCB$.在$\triangle BCE$和$\triangle CBF$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BCE=∠CBF,\\ BC=CB,\\ ∠CBE=∠BCF,\end{array}\right. $所以$\triangle BCE\cong \triangle CBF(ASA)$,所以$∠BEC=∠CFB$.因为CE是$\triangle ABC$的高,所以$CE⊥AB$,所以$∠CFB=∠BEC=90^{\circ }$,所以$BP⊥AC$.
(2)因为$∠PBC=∠PCB$,所以$CP=BP=10$.因为$EP=6$,所以$CE=CP+EP=16$.因为$∠BEC=90^{\circ }$,所以$BE=\sqrt {BP^{2}-EP^{2}}=8$.设$AB=AC=x$,则$AE=AB-BE=x-8$.因为$∠AEC=180^{\circ }-∠BEC=90^{\circ }$,所以$AE^{2}+CE^{2}=AC^{2}$,所以$(x-8)^{2}+16^{2}=x^{2}$,解得$x=20$,即AB的长为20.

23. (7 分)新素养 应用意识 如图①,在长方形电子广告屏$ABCD$中,$AB = 8m$,$BC = 6m$.画面设计如下:动点$P从点A出发沿长方形的边AB - BC以2m/s的速度向点C$运动,逐渐展开主体广告画面.
(1) 写出$△APD的面积S(m^2)关于点P的运动时间t(s)$的函数表达式;
(2) 在图②中画出上述函数的图象.

答案：
(1)当点P在边AB上,即$0≤t≤4$时,$S=\frac {1}{2}AD\cdot AP=\frac {1}{2}\cdot 6\cdot 2t=6t$;当点P在边BC上,即$4＜t≤7$时,$S=\frac {1}{2}S_{长方形ABCD}=\frac {1}{2}×8×6=24$.综上所述,S关于t的函数表达式为$S=\left\{\begin{array}{l} 6t,0≤t≤4,\\ 24,4＜t≤7.\end{array}\right. $
(2)图略.