《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (6分)如图,在平面直角坐标系中,$O$是原点,长方形$OABC的顶点A,C的坐标分别为(20,0),(0,8)$,$D是OA$的中点,$P是直线BC$上的动点.当$\triangle ODP$是等腰三角形时,求点$P$的坐标.

答案： 因为A(20,0),C(0,8),所以OA=20,OC=8.因为D是OA的中点,所以OD=1/2 OA=10.当△ODP是等腰三角形时,分类讨论如下:① 当OP=DP时,点P在线段OD的垂直平分线上,所以点P的坐标为(5,8);② 当OP=OD=10时,因为∠OCP=90°,所以CP=√(OP²-OC²)=6,所以点P的坐标为(-6,8)或(6,8);③ 当DP=OD=10时,过点P作PE⊥x轴于点E,则∠DEP=90°,PE=OC=8,所以DE=√(DP²-PE²)=6,所以点P的坐标为(10-6,8)或(10+6,8),即(4,8)或(16,8).综上所述,点P的坐标为(5,8)或(-6,8)或(6,8)或(4,8)或(16,8).

28. (10分)新趋势推导探究(2025·江苏淮安模拟)如图,在平面直角坐标系中,$O$是原点,已知点$A(a,0),B(b,0),C(-1,2)$,且$|2a+b+1|+\sqrt{a+2b-4}= 0$.
(1) 求$a,b$的值;
(2) ① 若在$y轴的正半轴上存在一点M$,使$S_{\triangle COM}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$,求点$M$的坐标;
② 在坐标轴上一共存在多少个点$N$,使$S_{\triangle CON}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$成立? 请求出所有符合条件的点$N$的坐标.

答案：
(1)由题意,得{2a+b+1=0,a+2b-4=0,解得{a=-2,b=3.
(2)① 因为A(-2,0),B(3,0),所以OA=2,OB=3,所以AB=OA+OB=5.设OM=x.过点C分别作CD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E.因为C(-1,2),所以CD=2,CE=1,所以S△ABC=1/2 AB·CD=5,S△COM=1/2 OM·CE=1/2 x.因为S△COM=1/2 S△ABC,所以1/2 x=5/2,解得x=5,所以点M的坐标为(0,5).② 分类讨论如下:当点N在y轴上时,设点N的坐标为(0,m),则由①,得m=±5,此时点N的坐标为(0,5)或(0,-5);当点N在x轴上时,设点N的坐标为(n,0).由题意,得1/2×2×|n|=1/2×5,解得n=±2.5,此时点N的坐标为(2.5,0)或(-2.5,0).综上所述,所有符合条件的点N的坐标为(0,5),(0,-5),(2.5,0),(-2.5,0).