《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (8分)新趋势综合实践在学习勾股定理时,我们学会了运用图①验证它的正确性.图中大正方形的面积可表示为$(a + b)^{2}$,也可表示为$c^{2}+\frac{1}{2}ab×4$,即$(a + b)^{2}= c^{2}+\frac{1}{2}ab×4$,由此推出勾股定理$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.
(1)用图②的面积表达式验证勾股定理;(其中四个直角三角形全等,且两条直角边的长分别为$a$,$b$)
(2)用图③提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证:$(x + y)^{2}= x^{2}+2xy + y^{2}$;
(3)自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:$(x + p)(x + q)= x^{2}+(p + q)x + pq$.

答案：
(1)由题意,得$\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^{2}=c^{2}$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)如图①,大正方形的边长为$x + y$,所以大正方形的面积为$(x + y)^{2}$,它的面积也等于两个边长分别为$x$,$y$的正方形和两个长为$x$,宽为$y$的长方形面积之和,即$x^{2}+2xy + y^{2}$,所以$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$.
(3)如图②,大长方形的长、宽分别为$x + p$,$x + q$,则其面积为$(x + p)(x + q)$.从图形关系上可得大长方形是由一个边长为$x$的正方形和三个小长方形构成的,则其面积又可表示为$x^{2}+px+qx + pq = x^{2}+(p + q)x + pq$,所以$(x + p)(x + q)=x^{2}+(p + q)x + pq$.

28. (8分)在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$G为\triangle ABC$外一点,且$\triangle GBC$为等边三角形.
(1)如图①,求证:直线$AG垂直平分BC$;
(2)如图②,以$AB为一边作等边三角形ABE$,连接$EG$,$EC$.若$AG= \sqrt{10}$,$BG= \sqrt{6}$,求$EG$的长.

答案：
(1)因为$\triangle GBC$为等边三角形,所以$GB = GC$,所以点$G$在$BC$的垂直平分线上.因为$AB = AC$,所以点$A$在$BC$的垂直平分线上,所以直线$AG$垂直平分$BC$.
(2)因为$\triangle GBC$和$\triangle ABE$都是等边三角形,所以$BC = GC = BG=\sqrt{6}$,$EB = AB$,$\angle EBA=\angle GBC=\angle BGC=\angle BCG = 60^{\circ}$,所以$\angle EBA+\angle ABC=\angle GBC+\angle ABC$,所以$\angle EBC=\angle ABG$.因为$AG$垂直平分$BC$,所以$\angle AGB=\frac{1}{2}\angle BGC = 30^{\circ}$.在$\triangle EBC$和$\triangle ABG$中,$\begin{cases}EB = AB\\\angle EBC=\angle ABG\\BC = BG\end{cases}$所以$\triangle EBC\cong\triangle ABG(SAS)$,所以$EC = AG=\sqrt{10}$,$\angle ECB=\angle AGB = 30^{\circ}$,所以$\angle ECG=\angle ECB+\angle BCG = 90^{\circ}$,所以$EG=\sqrt{GC^{2}+EC^{2}} = 4$.