《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (12分)新趋势 推导探究 如图,一次函数$y= \frac{3}{4}x+3的图象分别与x$轴、$y轴相交于点A,B$,且与经过点$C(2,0)的一次函数y= kx+b的图象相交于点D$,点$D$的横坐标为4,直线$CD与y轴相交于点E$.
(1) 直线$CD$的函数表达式为y = 3x - 6;
(2) 在$x轴上求一点P$,使$\triangle PAD$为等腰三角形,直接写出所有满足条件的点$P$的坐标;(6,0),(-14,0),(12,0),($\frac{9}{4}$,0)
(3) 若$Q为线段DE$上的一个动点,连接$BQ$,则点$Q$是否存在某个位置,使得将$\triangle BQD沿着直线BQ$翻折后,点$D恰好落在直线AB下方的y$轴上? 若存在,求点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.

存在，点Q的坐标为($\frac{18}{13}$,$-\frac{12}{13}$)

答案：
(1)y = 3x - 6
(2)过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AFD = 90°.因为D(4,6),所以OF = 4,DF = 6.在y = $\frac{3}{4}$x + 3中,令y = 0,得$\frac{3}{4}$x + 3 = 0,解得x = - 4,所以A(- 4,0),所以OA = 4,所以AF = OA + OF = 8,所以AD = $\sqrt{AF² + DF²}$ = 10.因为△PAD为等腰三角形,所以分类讨论如下:①若AP = AD = 10,则点P的坐标为(- 4 + 10,0)或(- 4 - 10,0),即(6,0)或(- 14,0);②若DP = AD,则PF = AF = 8,所以点P的坐标为(4 + 8,0),即(12,0);③若AP = DP,则P为线段AD的垂直平分线与x轴的交点.设AP = DP = x,则PF = AF - AP = 8 - x.因为PF² + DF² = DP²,所以(8 - x)² + 6² = x²,解得x = $\frac{25}{4}$,即AP = $\frac{25}{4}$,所以点P的坐标为($\frac{25}{4}$ - 4,0),即($\frac{9}{4}$,0).综上所述,所有满足条件的点P的坐标为(6,0),(- 14,0),(12,0),($\frac{9}{4}$,0).
(3)假设存在.如图,设翻折后点D的对应点为D',连接DD'交BQ于点H.由翻折的性质，得BD' = BD,H是DD'的中点.在y = $\frac{3}{4}$x + 3中,令x = 0,得y = 3,所以B(0,