《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

28. (8分)新趋势 推导探究
【问题背景】如图①,在四边形ABCD中,$AB= AD,∠BAD= 120^{\circ },∠ABC= ∠ADC= 90^{\circ }$,E,F分别是边BC,CD上的点,且$∠EAF= 60^{\circ }$,探究线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法如下:延长FD到点G,使$DG= BE$,连接AG,先证明$△ABE\cong △ADG$,再证明$△AEF\cong △AGF$,可得到正确结论.他的结论是______.
【探索延伸】如图②,在四边形ABCD中,$AB= AD,∠ABC+∠ADC= 180^{\circ }$,E,F分别是边BC,CD上的点,且$∠EAF= \frac {1}{2}∠BAD$,上述结论是否仍然成立? 并说明理由.
【结论应用】如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西$30^{\circ }$的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东$70^{\circ }$的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60 n mile/h的速度前进,舰艇乙沿北偏东$50^{\circ }$的方向以80 n mile/h的速度前进,1.5 h后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O之间的夹角$∠EOF= 70^{\circ }$,试求此时两舰艇之间的距离.
【能力提高】如图④,在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC$,点M,N在边BC上,且$∠MAN= 45^{\circ }$.若$BM= 1,CN= 3$,则MN的长为______.

答案：
[问题背景]EF = BE + FD
[探索延伸]EF = BE + FD仍然成立。理由如下:如图①，延长FD到点G，使DG = BE，连接AG。因为$∠ABC + ∠ADC = 180^{\circ }$，$∠ADG + ∠ADC = 180^{\circ }$，所以$∠B = ∠ADG$。在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠B=∠ADG,\\ BE=DG,\end{array}\right. $所以$△ABE\cong △ADG$(SAS)，所以AE = AG，$∠BAE = ∠DAG$因为$∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD$，所以$∠GAF = ∠FAD + ∠DAG = ∠FAD + ∠BAE = ∠BAD - ∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD$，所以$∠EAF = ∠GAF$。在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $所以$△AEF\cong △AGF$(SAS)，所以EF = GF。因为GF = DG + FD = BE + FD，所以EF = BE + FD。

[结论应用]如图②，连接EF，分别延长AE，BF相交于点C。在四边形AOBC中，因为$∠AOB = 30^{\circ } + 90^{\circ } + (90^{\circ } - 70^{\circ })=140^{\circ }$，$∠EOF = 70^{\circ }$，所以$∠EOF=\frac {1}{2}∠AOB$。又OA = OB，$∠OAC + ∠OBC = 90^{\circ } - 30^{\circ } + 70^{\circ } + 50^{\circ } = 180^{\circ }$，符合[探索延伸]中的条件，所以结论EF = AE + BF成立。因为AE = 60×1.5 = 90(n mile)，BF = 80×1.5 = 120(n mile)，所以EF = 210n mile。故此时两舰艇之间的距离为210n mile。

[能力提高]$\sqrt{10}$　解析:如图③，在△ABC外侧作$∠CAD = ∠BAM$，截取AD = AM，连接CD，DN。因为$∠BAC = 90^{\circ }$，AB = AC，所以$∠B = ∠ACB=\frac {1}{2}(180^{\circ } - ∠BAC)=45^{\circ }$。在△ACD和△ABM中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠CAD=∠BAM,\\ AD=AM,\end{array}\right. $所以$△ACD\cong △ABM$(SAS)，所以CD = BM = 1，$∠ACD = ∠B = 45^{\circ }$，所以$∠NCD = ∠ACB + ∠ACD = 90^{\circ }$。因为CN = 3，所以DN = $\sqrt{CN^{2}+CD^{2}}=\sqrt{10}$。因为$∠MAN = 45^{\circ }$，所以$∠BAM + ∠CAN = ∠BAC - ∠MAN = 45^{\circ }$，所以$∠CAD + ∠CAN = 45^{\circ }$，所以$∠DAN = 45^{\circ }$，所以$∠MAN = ∠DAN$。在△MAN和△DAN中，$\left\{\begin{array}{l} AM=AD,\\ ∠MAN=∠DAN,\\ AN=AN,\end{array}\right. $所以$△MAN\cong △DAN$(SAS)，所以MN = DN = $\sqrt{10}$。