《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

21. (8分) 《九章算术》卷九中记载:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?”译文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有$3$尺,牵着绳索(绳索头与地面接触)退行,在距木柱根部$8$尺处时绳索用尽,求绳索长.

答案： 设绳索长为$x$尺.由题意,得$(x-3)^{2}+8^{2}=x^{2}$,解得$x=\frac{73}{6}$.故绳索长$\frac{73}{6}$尺.

22. (6分) 新素养 几何直观 如图,$\triangle ABC$的顶点均在格点上,小正方形的边长为$1$.
(1) 按要求画图:
① 找一格点$P$,使点$P到\triangle ABC$某两个顶点的距离相等;(画出符合条件的一个格点即可)
② 仅用无刻度的直尺找一点$Q$,使点$Q到\triangle ABC$三个顶点的距离都相等;
(2) 在(1)的条件下,$\triangle QBC$的面积是______.

(1) 图略.
(2) 7

答案：
(1) 图略.
(2) 7

23. (10分) 新素养 应用意识 甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费$y_{甲}$(元)、$y_{乙}$(元)都是行车里程$x(km)$的函数,它们的图象如图所示.
(1) 根据图象解答:当$x= $2000时,甲、乙两家公司的租车费相等;
(2) 求$y_{乙}与x$之间的函数表达式;
把点$(2000,2000)$代入$y_{\text{乙}}=k_{2}x+1000$,得$2000k_{2}+1000=2000$,解得$k_{2}=0.5$.故$y_{\text{乙}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\text{乙}}=0.5x+1000(x\geq0)$.
(3) 若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米$0.25$元,另收取一次性管理费$1200$元,则在这三家公司中,你认为在哪家公司租车较好?
由题意,得$y_{\text{甲}}=x$,$y_{\text{乙}}=0.5x+1000$,$y_{\text{丙}}=0.25x+1200$.令$y_{\text{甲}}＞y_{\text{丙}}$,得$x＞0.25x+1200$,解得$x＞1600$;令$y_{\text{乙}}＞y_{\text{丙}}$,得$0.5x+1000＞0.25x+1200$,解得$x＞800$.综上所述,当行车里程不足1600km时,在甲公司租车较好;当行车里程为1600km时,在甲公司或丙公司租车较好;当行车里程超过1600km时,在丙公司租车较好.

答案：
(1) 2000
(2) 把点$(2000,2000)$代入$y_{\text{乙}}=k_{2}x+1000$,得$2000k_{2}+1000=2000$,解得$k_{2}=0.5$.故$y_{\text{乙}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\text{乙}}=0.5x+1000(x\geq0)$.
(3) 由题意,得$y_{\text{甲}}=x$,$y_{\text{乙}}=0.5x+1000$,$y_{\text{丙}}=0.25x+1200$.令$y_{\text{甲}}＞y_{\text{丙}}$,得$x＞0.25x+1200$,解得$x＞1600$;令$y_{\text{乙}}＞y_{\text{丙}}$,得$0.5x+1000＞0.25x+1200$,解得$x＞800$.综上所述,当行车里程不足1600km时,在甲公司租车较好;当行车里程为1600km时,在甲公司或丙公司租车较好;当行车里程超过1600km时,在丙公司租车较好.