《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

题型06 与矩形有关的动态探究题
7.(杭州中考)如图，在$Rt\triangle ACB$中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°.
(1)求证：CE=CM；
(2)若AB=4，求线段FC的长.

[名师讲习](1)根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证.
(2)先根据直角三角形斜边上中线的性质求出CM的长度，由CE=CM得到CE的长，再在$Rt\triangle CEF$中，运用30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出FC的长.

答案：
(1)证明：
∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，
∴MC=MA=MB.
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B.
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°.
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°.
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°.
∴∠MEC=∠EMC.
∴CE=CM.
(2)解：
∵AB=4，
∴$CE=CM=\frac{1}{2}AB=2.$
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴$EF=\frac{1}{2}CE=1.$
∴$FC=\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{3}.$

题型07 与矩形有关的最小值问题
8.如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，DE=3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为________。

[名师讲习]设BE=x，则DE=3x，BD=4x.
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB·AD=\frac{1}{2}BD·AE.$

答案： 3$\sqrt{3}$