《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

7.（长沙期中）用适当方法比较两个二次根式的大小.
（1）$7\sqrt{6}$与$6\sqrt{7}$；（2）$\frac{\sqrt{5}}{5}$与$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
[名师讲习]
（1）可以将根号外的因式移到根号内，再比较大小.
（2）可以先将两个二次根式分别平方，再比较大小.

[解]（1）∵$7\sqrt{6}$ = $\sqrt{294}$，$6\sqrt{7}$ = $\sqrt{252}$，而294＞252，∴$7\sqrt{6}$＞$6\sqrt{7}$
（2）∵（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）² = $\frac{1}{5}$，（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）² = $\frac{1}{3}$，而$\frac{1}{5}$＜$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案：

8.有一块直角三角形菜地，它的两条直角边的长分别为$2\sqrt{2}$m与$\sqrt{10}$m，求这块直角三角形菜地的面积.
[名师讲习]根据三角形的面积公式列式计算即可.

[解]$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{10}$
=（$\frac{1}{2} \times 2$）×（$\sqrt{2} \times \sqrt{10}$）
=$\sqrt{20}$ = 2$\sqrt{5}$（m²）.
答：这块直角三角形菜地的面积为2$\sqrt{5}$m².

答案：

9.（长春模拟）观察下列各式及其验证过程.
$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$，验证：$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{(2^{2} - 2) + 2}{2^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{2\times(2^{2} - 1) + 2}{2^{2} - 1}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$.
$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$，验证：$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3^{3}}{8}} = \sqrt{\frac{(3^{3} - 3) + 3}{3^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{3\times(3^{2} - 1) + 3}{3^{2} - 1}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想$5\sqrt{\frac{5}{24}}$的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，试用含n（n为任意自然数，且n≥2）的等式表示出来，并验证.
[名师讲习]

通过观察$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$，$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$，类比将$5\sqrt{\frac{5}{24}}$变形，用含n的式子表示规律并验证.

[解]（1）$5\sqrt{\frac{5}{24}}$ = $\sqrt{5 + \frac{5}{24}}$，验证：$5\sqrt{\frac{5}{24}}$ = $\sqrt{\frac{5^{3}}{24}}$ = $\sqrt{\frac{(5^{3} - 5) + 5}{5^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{5\times(5^{2} - 1) + 5}{5^{2} - 1}} = \sqrt{5 + \frac{5}{24}}$
（2）$n\sqrt{\frac{n}{n^{2} - 1}}$ = $\sqrt{n + \frac{n}{n^{2} - 1}}$ （n为正整数，且n≥2），$n\sqrt{\frac{n}{n^{2} - 1}} = \sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{\frac{n}{n^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{(n^{3} - n) + n}{n^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{n(n^{2} - 1) + n}{n^{2} - 1}} = \sqrt{n + \frac{n}{n^{2} - 1}}$.

答案：