《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

2.（哈尔滨模拟）已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线l与直线AC平行，分别与直线AD，AB，BD交于点E，F，P.
（1）如图，当点P在O，B之间时，求证：PE + PF = AC.
（2）探究：在平移直线l的过程中，线段PE，PF，AC有何数量关系？直接写出相应的结论：
①当点P在O，D之间时，________；
②当点P在BD延长线上时，________；
③当点P在DB延长线上时，________.

答案：

$(1)[$证明$]$如图$1,$设直线$l$与$BC$交于点$M.$　　

∵四边形$ABCD$是菱形，　　

$\therefore A D//B C , A C \perp B D , \angle A B D = \angle C B D .$　　

∵直线$l$与直线$AC$平行，　　

$\therefore B D \perp$直线$l，$四边形$AEMC$是平行四边形。　　

$\therefore \angle B P F = \angle B P M = 9 0 ^{\circ} , E M = A C .$　　

在$\triangle B P F$和$\triangle B P M$中　　

$\begin{cases}\angle F B P = \angle M B P , \cr B P = B P , \cr \angle B P F = \angle B P M , \end{cases}$　　

∴$△BPF≌△BPM(ASA).$　　

$\therefore P F = P M .$　　

$\therefore P E + P F = P E + P M = E M .$　　

$\therefore P E + P F = A C .$　　

$(2)[$解$](①PE+PF=AC ②PF-PE=AC$　　

$③PE-PF=AC$　　

解法提示：$①$如图$2，$设直线$l$与$CD$交于点$M.$　　

∵四边形$ABCD$是菱形，　　

$\therefore C D //A B , A C \bot B D , \angle A D B = \angle C D B .$　　

∵直线$l$与直线$AC$平行，　　

$\therefore B D \perp$直线$l，$四边形$ACMF$是平行四边形。　　

$\therefore \angle D P E = \angle D P M = 9 0 ^{\circ} , F M = A C .$　　

在$\triangle D P E$和$\triangle D P M$中$\begin{cases} \angle D P E = \angle D P M ， \cr D P = D P ， \cr \angle E D P = \angle M D P , \end{cases}$　　

∴$△DPE≌△DPM(ASA).$　　

∴PE=PM. __　　

∴$PE+PF=PM+PF=FM.$　　

∴$PE+PF=AC.$　　

$②$如图$3，$设直线$l$与$CD$的延长线交于点$M.$　　

∵四边形$ABCD$是菱形，　　

∴$CD∥AB,AC⊥BD,∠ADB=∠CDB.$　　

∵直线$l$与直线$AC$平行，　　

∴$BD⊥$直线$l,$四边形$ACMF$是平行四边形。　　

∴$∠DPE=∠DPM=90°,FM=AC.$　　

∵$∠MDP=∠CDB,∠EDP=∠ADB,$　　

∴$∠MDP=∠EDP.$　　

在$△DPE$和$△DPM$中$\begin{cases} \angle D P E = \angle D P M ， \cr D P = D P ， \cr \angle E D P = \angle M D P , \end{cases}$　　

∴$△DPE≌△DPM(ASA).$　　

∴$PE=PM.$　　

∴$PF-PE=PF-PM=FM.$　　

∴$PF-PE=AC.$　　

$③$如图$4，$设直线$l$与$CB$的延长线交于点$M.$　　

∵四边形$ABCD$是菱形，　　

$\therefore A D \| B C , A C \perp B D , \angle A B D = \angle C B D .$　　

∵直线$l$与直线$AC$平行，　　

$\therefore B D \perp$直线$l，$四边形$AEMC$是平行四边形。　　

$\therefore \angle B P F = \angle B P M = 9 0 ^{\circ} , E M = A C .$　　

$\because \angle P B M = \angle C B D , \angle P B F = \angle A B D ,$　　

$\therefore \angle P B M = \angle P B F .$　　

在$\triangle B P F$和$\triangle B P M$中　　

$\begin{cases} \angle P B F = \angle P B M , \cr B P = B P , \cr \angle B P F = \angle B P M , \end{cases}$　　

∴$△BPF≌△BPM(ASA).$　　

$\therefore P F = P M .$　　

$\therefore P E - P F = P E - P M = E M .$　　

$\therefore P E - P F = A C .$