《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

题型04 矩形中的折叠问题（易错）
5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把\triangle ABE沿AE折叠，使点B落在B'处，当\triangle CEB'为直角三角形时，BE的长为________。

[名师讲习]分两种情况：
(1)当∠CB'E=90°时，如图1所示.
由折叠的性质可知，∠AB'E=90°，
∴∠CB'E+∠AB'E=180°.
∴点A，B'，C共线，即点B'落在AC上.
由折叠的性质可知，AB'=AB=3，BE=B'E.
在Rt\triangle ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5.
∴CB'=AC - AB'=5 - 3=2.
在Rt\triangle B'CE中，设B'E=BE=x，则CE=4 - x，
由勾股定理，得x^{2}+2^{2}=(4 - x)^{2}，
解得x=$\frac{3}{2}$，即BE=$\frac{3}{2}$.
　　
(2)当∠B'EC=90°时，如图2所示，此时点B'落在AD上.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°.
由折叠的性质可知，∠AB'E=90°，AB=AB'=3，
∴四边形ABEB'为矩形.∴BE=AB'=3.
综上所述，BE的长为$\frac{3}{2}$或3.

答案： $\frac{3}{2}$或3

题型05 矩形的判定与性质的综合应用
6.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，点C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.
(1)求证：$\triangle CFP≌\triangle PHC；$
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并求出它们面积之间的关系.

[名师讲习](1)根据矩形的性质得出对边平行，进而得出$\triangle CFP$和$\triangle PHC$全等的条件.
(2)根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判定即可；根据矩形的性质可得$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}，$$S_{\triangle PHC}=S_{\triangle CFP}，$$S_{\triangle AEP}=S_{\triangle APG}，$作差即可得出两个矩形面积之间的关系.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AD//BC.
∵PF//AB，
∴PF//CD.
∴∠CPF=∠PCH.
∵PH//AD，
∴PH//BC.
∴∠PCF=∠CPH.
在$\triangle CFP$和$\triangle PHC$中，$\begin{cases}∠CPF=∠PCH,\\CP=PC,\\∠PCF=∠CPH,\end{cases}$
∴$\triangle CFP≌\triangle PHC(ASA).(2)$解：
∵EF//AB//CD，GH//AD//BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°.
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.
同理可证，四边形AEPG和四边形PHCF也都是矩形，
∴$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}，$$S_{\triangle PHC}=S_{\triangle CFP}，$$S_{\triangle AEP}=S_{\triangle APG}.$
∴$S_{\triangle ACD}-S_{\triangle PHC}-S_{\triangle AEP}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CFP}-S_{\triangle APG}，$
即$S_{矩形PEDH}=S_{矩形PFBG}.$