《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例$3 ($乐山中考$)$如图，在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°，$点$D$为$AB$边上任意一点$($不与点$A，$$B$重合$)，$过点$D$作$DE//BC，$$DF//AC，$分别交$AC，$$BC$于点$E，$$F，$连接$EF。$　　
$(1)$求证：四边形$ECFD$是矩形；　　
$(2)$若$CF = 2，$$CE = 4，$求点$C$到$EF$的距离。　　
$ $　　
$[$思路导引$](1)$先证四边形$ECFD$是平行四边形，再加一个角是直角便得结论。　　
$(2)$由勾股定理求出$EF$的长，利用面积法求解即可。　　
$(1)[$证明$]·\because D E //B C ，$$ D F//A C ，$∴四边形$ECFD$是平行四边形。又$\because \angle C = 9 0 ^{\circ} ，$$ \therefore.$四边形$ECFD$是矩形。　　
$ $　　

$(2)[$解$]$如图，过点$C$作$C H \perp E F$于点$H.$　　

在$R t \triangle E C F$中，$CF=2,CE=4,$　　

$\therefore E F = \sqrt{C E^{2} + C F^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}.$　　

$\because S_{\triangle B C F} = \frac{1}{2}C F \cdot C E = \frac{1}{2}E F \cdot C H , \therefore C H = \frac{C F \cdot C E}{E F} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}.$∴点$C$到$EF$的距离为$\frac{4 \sqrt{5}}{5}.$　　

答案：

例$4 $如图，$□ABCD$的四个内角的平分线分别相交于点$E，$$F，$$G，$$H。$求证：四边形$EFGH$是矩形。　　
$ $　　
$[$思路导引$]$题中证明矩形的条件是建立在四边形基础上，且都与角相关，可从证直角入手进行判定。　　

$[$证明$]$∵四边形$ABCD$是平行四边形，　　

$\therefore A B \| C D .$两直线平行，同旁内角互补。　　

$\therefore \angle A B C + \angle B C D = 1 8 0 ^{\circ} .$　　

∵$BG$平分$\angle A B C ,CG$平分$\angle B C D ，$$ $　　

$\therefore \angle G B C + \angle G C B = \frac{1}{2}\angle A B C + \frac{1}{2}\angle B C D = \frac{1}{2}(\angle A B C + \angle B C D) = \frac{1}{2} × 1 8 0 ^{\circ} = 9 0 ^{\circ} .$　　

$\therefore \angle B G C = 9 0 ^{\circ} .$　　

同理可得，$\angle A F B = \angle A E D = 9 0 ^{\circ} ，$　　

$\therefore \angle G F E = \angle F E H = \angle F G H = 9 0 ^{\circ}$　　

∴四边形$EFGH $是矩形。　　

答案：