《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

8.（广西中考）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________.
　　　　　　　

答案： √2

9.（遵义中考）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上（AE ＜ BE），且∠EOF = 90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.
（1）求证：OM = ON；
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长.
　　　　　　　

答案：

$9.(1)$证明：
∵四边形$ABCD $是正方形，　　

∴$OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°.$　　

∴$∠OAM=∠OBN=135°.$　　

∵$∠EOF=90°,∠AOB=90°,$　　

∴$∠AOM+∠EOB=∠BON+∠EOB.$　　

∴$∠AOM=∠BON.$　　

∴$△OAM≌△OBN(ASA),$
∴$OM=ON.$　　

$(2)$解：如图，过点$O $作$OH⊥AD $于点$ H,$连接$EH.$　　

∵正方形$ABCD$的边长为$4,$　　

∴$OH=2,HA=2.$　　

∵$AB⊥AD,$
∴$AE//OH,$　　

∵$E$为$OM$的中点$,$
∴$A$为$HM$的中点。　　

∴$HM=2HA=4.$　　

$\therefore O M = \sqrt{O H^{2} + H M^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}.$　　

$\therefore M N = \sqrt{O M^{2} + O N^{2}} = \sqrt{2}O M = 2 \sqrt{1 0}.$　　

10. 如图1，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得四边形OBEC.
（1）如图2，如果四边形ABCD是矩形，那么四边形OBEC是何种四边形？请证明你的结论.
（2）如图3，如果四边形ABCD是正方形，四边形OBEC也是正方形吗？如果是，请证明结论；如果不是，请说明理由.
　　　　　　
　　　 　　

答案：

解：$(1)$四边形$OBEC$是菱形。证明如下：$ $　　

$\because B E // O C , C E //O B , $　　

∴四边形$OBEC$是平行四边形。$ $　　

又
∵四边形$ABCD$是矩形，$ $　　

$\therefore O C = O B , \therefore \square O B E C$是菱形。$ $　　

$(2)$四边形$OBEC$是正方形。证明如下：$ $　　

$\because B E // O C , C E //O B , $　　

∴四边形$OBEC$是平行四边形。$ $　　

又
∵四边形$ABCD$是正方形，$ $　　

$\therefore O C = O B , A C \perp B D . $　　

$\therefore \square O B E C$是菱形，$\angle B O C = 9 0 ^{\circ} .$　　$ $　　

∴菱形$OBEC$是正方形。$ $