《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例3 如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，将△ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE，BE，且AC和BE相交于点O.
(1)判断四边形ABCE是什么四边形，并说明理由.
(2)如图2，P是线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接PO并延长交线段AE于点Q.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出四边形PQED的面积.
　　

答案：
(1)解：四边形ABCE是菱形.理由如下：
∵将△ABC沿BC方向平移得到△ECD，
∴EC//AB，EC=AB.
∴四边形ABCE是平行四边形.又
∵AB=BC，
∴□ABCE是菱形.
(2)解：四边形PQED的面积不发生变化.
∵四边形ABCE是菱形，
∴BE⊥AC，BO=EO，AO=1/2AC=3，AE//BC.
∴∠OBP=∠OEQ.又
∵∠BOP=∠EOQ，
∴△PBO≌△QEO(ASA).
∴S△PBO=S△QEO.
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED//AC，ED=AC=6.又
∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED.
∴△AOB，△BED是直角三角形.
∴BE=2BO=2√(AB² - AO²)=2×√(5² - 3²)=8.
∴S四边形PQED=S△QED+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=1/2BE·ED=1/2×8×6=24.