《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例5 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{240}$；(2)$\sqrt{0.03}$；(3)$\sqrt{75a^{2}b}$ ($a \geq 0$)；(4)$\sqrt{\frac{1}{2}}$。
[解](1)$\sqrt{240}=\sqrt{4^{2}×15}=\sqrt{4^{2}}×\sqrt{15}=4\sqrt{15}$
(2)$\sqrt{0.03}=\sqrt{\frac{3}{100}}=\frac{\sqrt{3}}{10}$
(3)$\sqrt{75a^{2}b}=\sqrt{5^{2}×3a^{2}b}=\sqrt{5^{2}a^{2}}×\sqrt{3b}=5a\sqrt{3b}$ ($a \geq 0$)
(4)$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。另解：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：

例6 去掉下列式子分母中的根号，将其化为最简二次根式。
(1)$\frac{3}{\sqrt{3}}$；(2)$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{32}}$；(3)$\frac{2}{\sqrt{2ab}}$；(4)$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$。
[思路导引]优先考虑运用分式的基本性质，使得分母中出现算术平方根的平方，根据“$(\sqrt{a})^{2} = a$”化去分母中的根号。
[解](1)$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
(2)方法一：$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{32}}=\sqrt{\frac{12}{32}}=\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3×2}{8×2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
方法二：$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{32}}=\frac{\sqrt{4×3}}{\sqrt{16×2}}=\frac{\sqrt{4}×\sqrt{3}}{\sqrt{16}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
(3)$\frac{2}{\sqrt{2ab}}=\frac{2×\sqrt{2ab}}{\sqrt{2ab}×\sqrt{2ab}}=\frac{2\sqrt{2ab}}{2ab}=\frac{\sqrt{2ab}}{ab}$。另解：$\frac{2}{\sqrt{2ab}}=\sqrt{\frac{4}{2ab}}=\sqrt{\frac{2ab}{ab×ab}}=\frac{\sqrt{2ab}}{ab}$
(4)$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{5 + 2\sqrt{6}}{3 - 2}=5 + 2\sqrt{6}$

答案：