《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

5.(新疆中考)如图，AD和BC相交于点O，∠ABO=∠DCO = 90°，OB = OC，点E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE=OF；
(2)当∠A = 30°时，求证：四边形BECF是矩形.
　　　　　　

答案： $5.$证明：$((1)\because \angle A B O = \angle D C O = 9 0 ^{\circ} ，$$\therefore A B \| C D , \therefore \angle A = \angle D .$　　
在$\triangle A O B$和$\triangle D O C$中$\begin{cases}\angle A = \angle D ， \ \angle A B O = \angle D C O ， \ O B = O C , \end{cases}$　　
∴$△AOB≌△DOC(AAS),$
∴$AO=DO.$　　
∵点$E,F$分别是$AO,DO$的中点，　　
$\therefore O E = \frac{1}{2}A O , O F = \frac{1}{2}D O , \therefore O E = O F .$　　
$(2)\because O B = O C , O E = O F ,$　　
∴四边形$BECF$是平行四边形。　　
$\because \angle A = 3 0 ^{\circ} , \therefore O B = \frac{1}{2}A O = O E .$　　
$\because O E = O F , \therefore O B = \frac{1}{2}E F , \therefore \angle E B F = 9 0 ^{\circ} ,$　　
∴四边形$BECF$是矩形。　　

6.(滨州中考)如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF = 120°，且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE=EF.
　　　　

答案：

(1) 解：作AG⊥BC交BC于点G.
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC=60°，
∴BC=AB=AC=10.
∴BG=1/2BC=5.在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG=√(AB² - BG²)=√(10² - 5²)=5√3，
∴S菱形ABCD=BC·AG=10×5√3=50√3.
(2) 证明：如图，连接EC.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD=120°.
∴AE=EC，∠DCA=60°.
∴∠EAC=∠ECA，∠ACF=120°.
∵∠AEF=120°，
∴∠EAC+∠EFC=360° - ∠AEF - ∠ACF=360° - 120° - 120°=120°.
∵∠ECA+∠ECF=120°，
∴∠EFC=∠ECF.
∴EF=EC.
∴AE=EF.