《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

题型02 利用矩形的性质进行证明
3.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD.
∴∠CDE=∠FAE.
∵E是AD的中点，
∴DE=AE.
又
∵∠CED=∠FEA，
∴$\triangle CDE≌\triangle FAE(ASA).$
∴CD=FA.
又
∵CD//FA，
∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)解：BC=2CD.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠CDA=90°.
∵CF平分∠BCD，
∴$∠DCE=\frac{1}{2}∠BCD=45°.$
∴$\triangle CDE$是等腰直角三角形.
∴CD=DE.
∵E是AD的中点，
∴AD=2DE=2CD.
∵AD=BC，
∴BC=2CD.

题型03 矩形的判定（易错）
4.(六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD.
(1)求证：$\triangle ABE≌\triangle CDF.$
(2)当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AB//CD.
∴∠BAC=∠ACD.
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴$∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC，$$∠DCF=∠ACF=\frac{1}{2}∠ACD.$
∴∠BAE=∠DCF.
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}∠B=∠D,\\AB=CD,\\∠BAE=∠DCF,\end{cases}$
∴$\triangle ABE≌\triangle CDF(ASA).(2)$解：当$\triangle ABC$满足AB=AC时，四边形AECF是矩形.证明如下：
由
(1)可知，∠CAE=∠ACF，
∴AE//CF.
∵$\triangle ABE≌\triangle CDF，$
∴AE=CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
又
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC.
∴∠AEC=90°.
∴平行四边形AECF是矩形.