《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

6.(浙江中考)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE=AF；
(2)若∠B = 60°，求∠AEF的度数.
　　　　　　

答案： $6.(1)$证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD,∠B=∠D.$　　
又
∵$AE⊥BC$于点$E,AF⊥CD$于点$F,$
∴$∠AEB=∠AFD=90°.$　　
在$△ABE$和$△ADF$中。$\begin{cases}\angle B = \angle D ， \\ \angle A E B = \angle A F D ， \\A B = A D , \end{cases}$　　
∴$△ABE≌△ADF(AAS),$
∴$AE=AF.$　　
$(2)$解：
∵四边形$ABCD$是菱形，　　
∴$∠B+∠BAD=180°.$　　
又
∵$∠B=60°,$
∴$∠BAD=120°.$　　
∵$∠AEB=90°,∠B=60°,$
∴$∠BAE=30°.$　　
由$(1)$知$,△ABE≌△ADF,$　　
∴$∠DAF=∠BAE=30°.$　　
∴$∠EAF=120°-30°-30°=60°.$　　
∵$AE=AF,$　　
∴$△AEF$是等边三角形。　　
∴$∠AEF=60°.$　　

7.(2024·云南中考)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点，且AB//CD，AD//BC，四边形EFGH是矩形.
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长.
　　　　　　

答案：

(1) 证明：连接BD，AC交于点O.

∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴GF//BD，HG//AC.
∵四边形EFGH为矩形，
∴HG⊥GF.
∴BD⊥AC.
∴四边形ABCD为菱形.
(2) 解：
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴GF=EH=1/2BD，HG=EF=1/2AC.
∵矩形EFGH的周长为22，
∴BD+AC=22.
∵四边形ABCD是菱形，
∴1/2BD+1/2AC=OA+OB=11.
∵四边形ABCD的面积为10，
∴1/2BD·AC=10，即2OA·OB=10.
∵(OA+OB)²=OA²+2OA·OB+OB²=121，
∴OA²+OB²=121 - 10=111.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(OA²+OB²)=√111.