《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

[针对性训练]
4.(山西中考)阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.
×年×月×日　星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一:如图1，可利用一把有刻度的直尺在
AB上量出CD=30cm,然后分别以D,C为圆、心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E,作直线CE,则∠DCE必为90°.

办法二:如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M,N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC,则∠RCS=90°
我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务:
(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是______________________.
(2)根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS =90°,
(3)①尺规作图:请在图3的木板上,过点C 作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹，不写作法);
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).

答案：

(1)解：勾股定理的逆定理 解法提示：$\because CD = 30\ cm$，$DE = 50\ cm$，$CE = 40\ cm$， $\therefore CD^{2}+CE^{2}=30^{2}+40^{2}=50^{2}=DE^{2}$. $\therefore\angle DCE = 90^{\circ}$. 故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理.
(2)证明：由作图方法可知，$QR = QC$，$QS = QC$， $\therefore\angle QCR=\angle QRC$，$\angle QCS=\angle QSC$. $\because\angle QRC+\angle QCS+\angle QCR+\angle QSC = 180^{\circ}$， $\therefore 2(\angle QCR+\angle QCS)=180^{\circ}$. $\therefore\angle QCR+\angle QCS = 90^{\circ}$. 即$\angle RCS = 90^{\circ}$.
(3)解：①如图所示，直线$PC$即为所求.  ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(答案不唯一)

5.(乐山中考节选)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》,其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的:
平地秋千未起,踏板一尺离地.
送行二步与人齐，五尺人高曾记.
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是:有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推进10尺(5尺为一步),秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉得很直)
如图，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度.

[名师讲习]过点A'作A'B⊥OA，垂足为B.设秋千绳索的长度为x尺.由题意可知,OA=OA'=x尺，

AB=4尺,A'B=10尺,得出OB=(x−4)尺.在Rt△OA'B中，由勾股定理即可求解.

[解]如图,过点A'作A'B⊥OA,垂足为B.

设秋千绳索的长度为x尺.
由题意可知,OA=OA'=x尺,AB=4尺,A'B=
10尺，
∴OB=OA−AB=(x−4)尺.
在Rt△OA'B中,由勾股定理,得
A'B²+OB²=OA'²,
∴10²+(x−4)²=x².解得x=14.5.
∴秋千绳索OA的长度为14.5尺.

答案：