《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

题型07 与菱形有关的动态探究题
12.（德阳中考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2$\sqrt{3}$ cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发，沿BD方向以2 cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发，沿HD方向以1 cm/s向点D匀速运动.设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连接EF.
（1）求证：四边形EFGH是矩形.
（2）连接FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

答案： （1）证明：
∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH//FG.由题意知，BF=2t cm，EH=t cm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°.
∴FG=$\frac{1}{2}$BF=t cm.
∴EH=FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵∠FGH=90°，
∴四边形EFGH是矩形.
（2）解：△BFC与△DCE能够全等.
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2$\sqrt{3}$ cm，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=BC=AB=2$\sqrt{3}$ cm，AB//CD.
∴∠CBD=∠CDB=30°，∠DCH=∠ABC=60°.
∵DH⊥BC，
∴∠CHD=90°.
∴∠CDH=90° - ∠DCH=90° - 60°=30°=∠CBF.在Rt△CDH中，CH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$ cm，
∴DH=$\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3$(cm).
∵BF=2t cm，EH=t cm，
∴DE=(3 - t)cm.
∴当BF=DE时，△BFC≌△DEC.
∴2t=3 - t，解得t=1.