《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例3 （东方期中）若$\sqrt{(2x - 1)^2} = 1 - 2x$，则$x$的取值范围是 。

答案： $x\leqslant\frac{1}{2}$

例4 若$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 2$，则$x^y = $ 。
解题策略
使每个二次根式都有意义。
根据“$\sqrt{a^2} = |a|$”可以化简二次根式，但要保证其结果是非负数，据此可以列不等式求字母的取值范围。

答案： 9

例5 化简：
（1）$\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}$；（2）$\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2}$；（3）$\sqrt{x^2 - 4x + 4}(x ＜ 2)$。
[思路导引]根据$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a(a \geq 0) \\ -a(a ＜ 0) \end{cases}$进行化简即可。

[解](1) $\sqrt{(-\frac{2}{3})^2}=\vert -\frac{2}{3}\vert=\frac{2}{3}$。

(2) $\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2}=\vert 3 - \sqrt{10}\vert= - (3 - \sqrt{10})=\sqrt{10} - 3$。

因为$3=\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，所以$3 - \sqrt{10}＜0$。

(3) $\sqrt{x^2 - 4x + 4}=\sqrt{(x - 2)^2}=\vert x - 2\vert$。

因为$x＜2$，所以$x - 2＜0$。

所以原式$=\vert x - 2\vert= - (x - 2)=2 - x$。

答案：