《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

角度三 边的关系在判定菱形中的应用
10. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.

答案： 证明：
∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线.
∴EH=$\frac{1}{2}$CD.同理可得，EF=$\frac{1}{2}$AB，FG=$\frac{1}{2}$CD，HG=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=CD，
∴EH=EF=FG=HG.
∴四边形EFGH是菱形.

题型06 菱形的性质和判定的综合应用
11. 如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积.

答案：
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠EBF=∠AFB.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF.
∴∠ABF=∠AFB.
∴AB=AF.
∵BO⊥AE，
∴∠AOB=∠EOB=90°.又
∵BO=BO，
∴△BOA≌△BOE(ASA)，
∴AB=EB.
∴BE=AF.
∵BE//AF，
∴四边形ABEF是平行四边形.又
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形.
（2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G.

∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE=3，OB=$\frac{1}{2}$BF=4.在Rt△BOE中，BE=$\sqrt{OB^{2}+OE^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.
∵S菱形ABEF=$\frac{1}{2}$AE·BF=BE·FG，
∴FG=$\frac{AE·BF}{2BE}=\frac{6\times8}{2\times5}=\frac{24}{5}$.
∵BC=BE+CE=8，
∴S□ABCD=BC·FG=8×$\frac{24}{5}=\frac{192}{5}$.