《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

角度二 证明角相等
5. 如图，四边形ABCD是菱形，F是边AB上一点，DF交AC于点E，连接BE. 求证：∠AFD=∠CBE.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，∠BCE=∠DCE，BC=DC.
∴∠AFD=∠CDE.在△BCE和△DCE中，$\begin{cases}BC = DC\\\angle BCE = \angle DCE\\CE = CE\end{cases}$，
∴△BCE≌△DCE(SAS).
∴∠CBE=∠CDE.
∴∠AFD=∠CBE.

题型03 与菱形有关的最值问题
6.（眉山模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=∠EAF=60°，点E，F分别在DC，CB上，连接EF.
（1）求证：AE=AF.
（2）若AB=2，则△AEF面积的最小值是多少？

答案：
（1）证明：连接AC，

如图所示.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠BCA=∠DCA=60°.
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=60°，AB=AC=BC.
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC - ∠CAF = ∠EAF - ∠CAF，即∠BAF=∠CAE.又
∵∠B=∠DCA=60°，AB=AC，
∴△BAF≌△CAE(ASA).
∴AE=AF.
（2）解：由（1）知，AE=AF.
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形.故AF⊥BC时，AF最短，此时△AEF的面积最小.由（1）可知，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB=2.
∵AF⊥BC，
∴BF=CF=1.
∴AF=$\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.
∴在等边三角形AEF中，AF边上的高为$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{3}{2}$.
∴△AEF面积的最小值为$\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.