《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

8（黑龙江中考）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是______.

答案： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

9（聊城中考）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F.
（1）求证：AD=CF.
（2）连接AF，CD，如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？证明你的结论.

答案： （1）证明：
∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F.
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE.在△ADE和△CFE中，$\begin{cases}\angle A = \angle ECF\\\angle ADE = \angle F\\AE = CE\end{cases}$，
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∴AD=CF.
（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形.证明：
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD.
∵AD=CF，AD//CF，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC⊥BC，点D是AB的中点，
∴CD=AD.
∴平行四边形ADCF是菱形.

10（自贡模拟）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
（1）求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由.
（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上运动时，OE+OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系.

答案：
（1）解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG=$\frac{1}{2}$BD=8，AG=$\frac{1}{2}$AC.在Rt△ABG中，AB=10，BG=8，根据勾股定理得AG=$\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
∴AC=2AG=12，菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}\times12\times16=96$.
（2）解：OE+OF的值不发生变化.理由：连接AO，则S△ABD=S△ABO+S△ADO，即$\frac{1}{2}$BD·AG=$\frac{1}{2}$AB·OE+$\frac{1}{2}$AD·OF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10.又
∵BD=16，AG=6，
∴$\frac{1}{2}\times16\times6=\frac{1}{2}\times10\times OE+\frac{1}{2}\times10\times OF$，即48 = 5(OE + OF)，
∴OE + OF=$\frac{48}{5}$.

（3）解：OE+OF的值发生变化，OE - OF=$\frac{48}{5}$.理由：连接AO，则S△ABD=S△ABO - S△ADO，即$\frac{1}{2}$BD·AG=$\frac{1}{2}$AB·OE - $\frac{1}{2}$AD·OF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10.又
∵BD=16，AG=6，
∴$\frac{1}{2}\times16\times6=\frac{1}{2}\times10\times OE - \frac{1}{2}\times10\times OF$，即48 = 5(OE - OF)，
∴OE - OF=$\frac{48}{5}$.