《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

4.(泉州质检)先化简，再求值：$\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})-\frac{ab(a - b)}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}$，其中$a = 9$，$b = \frac{1}{8}$。

答案： [解]$\sqrt{ab}$($\sqrt{a}$-$\sqrt{6}$)−$\frac{ab(a−b)}{a\sqrt{6}−b\sqrt{a}}$
　=$\sqrt{ab}$($\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$)−$\frac{\sqrt{ab})²(\sqrt{a}+\sqrt{6})(\sqrt{a}−\sqrt{6})}{\sqrt{ab}\sqrt{a}\sqrt{6})}$
　=$\sqrt{ab}$($\sqrt{a}$-$\sqrt{6}$)−$\sqrt{ab}$($\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$)
　=$\sqrt{ab}$×(−2$\sqrt{6}$)=−2b$\sqrt{a}$.
　当a=9,b=$\frac{1}{8}$时，原式=−2×$\frac{1}{8}$×$\sqrt{9}$=−$\frac{3}{4}$.

5.(绵阳期中)已知$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$y = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求下列各式的值：
(1)$x^{2}-xy+y^{2}$；
(2)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+2$。

答案：
(1)原式=(x+y)²−3xy=($\sqrt{5}$)²−3×1=5−3=2.
(2)原式x²+yx²y+2xy=$\frac{(x+y)²}{xy}$=
(51)²=5.

题型04 用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值
6.(杭州模拟)阅读下面的文字，解答问题：大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是$\sqrt{2}$的小数部分，又例如：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请解答：
(1)$\sqrt{17}$的整数部分为______，小数部分为______；
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{40}$的整数部分为$b$，求$a + b-\sqrt{5}$的值；
(3)已知$x$是$3+\sqrt{5}$的小数部分，$y$是$3-\sqrt{5}$的小数部分，求出$x - y$的值。

答案： [解]
(1)4　$\sqrt{17}$−4
　解法提示:
∵$\sqrt{16}$＜$\sqrt{17}$＜$\sqrt{25}$,即4＜$\sqrt{17}$＜5,
∴$\sqrt{17}$的整数部分为4,小数部分为$\sqrt{17}$−4.
(2)
∵$\sqrt{4}$＜$\sqrt{5}$＜$\sqrt{9}$$\sqrt{36}$＜$\sqrt{40}$＜$\sqrt{49}$,
∴2＜$\sqrt{5}$＜3,6＜$\sqrt{40}$＜7.
∴a=√5−2,b=6.
∴a+b−√5=√5−2+6$\sqrt{5}$=4.
(3)
∵2＜$\sqrt{5}$＜3,
∴5＜3+$\sqrt{5}$＜6,0＜3−$\sqrt{5}$＜1.
∵x是3+$\sqrt{5}$的小数部分,y是3$\sqrt{5}$的小数部分，
∴x=3+$\sqrt{5}$−5=√5−2,y=3$\sqrt{5}$
∴x−y=$\sqrt{5}$−2−(3$\sqrt{5}$)
　　$\sqrt{5}$−2−3+$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$−5.