《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例2 当$x$是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）$\sqrt{2 - 5x}$；（2）$\sqrt{4x^2 + 4x + 1}$；（3）$\frac{\sqrt{x + 5}}{x - 2}$；（4）$\sqrt{x + 1} + (x - 1)^0$。
[思路导引]要使带有二次根号的式子有意义，就要使其被开方数是非负数，若同时含有分式，则还要注意分式的分母不能为0。

[解](1) 由$2 - 5x\geqslant0$，得$x\leqslant\frac{2}{5}$。

$\therefore$当$x\leqslant\frac{2}{5}$时，$\sqrt{2 - 5x}$在实数范围内有意义。

(2) $\because4x^2 + 4x + 1=(2x + 1)^2\geqslant0$，

$\therefore$当$x$取任何实数时，$\sqrt{4x^2 + 4x + 1}$在实数范围内都有意义。

(3) 由$\begin{cases}x + 5\geqslant0\\x - 2\neq0\end{cases}$，得$\begin{cases}x\geqslant - 5\\x\neq2\end{cases}$，即$x\geqslant - 5$且$x\neq2$。

因为$x$既出现在二次根式的被开方数中，又出现在分母中，所以应同时满足这两个条件。

$\therefore$当$x\geqslant - 5$且$x\neq2$时，$\frac{\sqrt{x + 5}}{x - 2}$在实数范围内有意义。

(4) 由$\begin{cases}x + 1\geqslant0\\x - 1\neq0\end{cases}$，得$\begin{cases}x\geqslant - 1\\x\neq1\end{cases}$，即$x\geqslant - 1$且$x\neq1$。

“0”的零次幂没有意义。

$\therefore$当$x\geqslant - 1$且$x\neq1$时，$\sqrt{x + 1}+(x - 1)^0$在实数范围内有意义。

答案：