《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例1（长沙模拟）如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG//DB，交CB的延长线于G.
(1)求证：△ADE≌△CBF.
(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠DAE=∠BCF，AB=CD.
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE=BE=1/2AB，CF=DF=1/2CD.
∴AE=CF.在△ADE和△CBF中，{AD=CB，∠DAE=∠BCF，AE=CF，}
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)解：四边形AGBD是矩形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，
∵AG//DB，
∴四边形AGBD是平行四边形.
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE.
∴DE=1/2AB.
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形.

例2（滨州中考）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG//CD交BE于点G，连接CG.
(1)求证：四边形CEFG是菱形；
(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积.

答案：

$(1)[$证明$]$由题意可得$△BCE≌△BFE,$　　

∴$∠BEC=∠BEF,CE=FE.$　　

∵$FG∥CE,$
∴$∠FGE=∠BEC.$　　

∴$∠FGE=∠FEG. $
∴$FG=FE. $
∴$FG=EC.$　　

∴四边形$CEFG$是平行四边形。　　

∵$CE=FE,$
∴四边形$CEFG$是菱形。　　

$(2)[$解$]$
∵在矩形$ABCD$中$,AB=6,AD=10,BC=BF,$
∴$∠A=90°,AD=BC=BF=10.$　　

$\therefore A F = \sqrt{1 0^{2} - 6^{2}} = 8 . \therefore D F = 2 .$　　

设$EF=x,$则$CE=x,DE=6-x.$　　

在$Rt△DEF$中$,∠D=90°,$由勾股定理，得　　

$2^{2} + (6 - x)^{2} = x^{2} ,$　　

解得$x = \frac{1 0}{3} , \therefore C E = \frac{1 0}{3}.$　　

∴四边形$CEFG$的面积是$C E \cdot D F = \frac{1 0}{3} × 2 = \frac{2 0}{3}.$