《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

9. （岳阳期末）如图，AB//CD，AD//BC，AD = 5，BE = 9，△DCE的面积为16，则四边形ABCD的面积为______.

答案： 40

10. （滨州期末）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”.类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，如果点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论.

答案： 猜想：EF//AD//BC，EF=$\frac{1}{2}$(AD + BC).证明：连接AF并延长交BC的延长线于点G，
∵AD//BC，
∴∠D = ∠FCG，在△ADF和△GCF中，$\begin{cases}\angle D=\angle FCG \\DF = CF\\\angle AFD=\angle GFC\end{cases}$，
∴△ADF≌△GCF(ASA)，
∴AD = CG，AF = GF，又
∵AE = EB，
∴EF是△ABG的中位线，
∴EF//BG，EF=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$(BC + CG)=$\frac{1}{2}$(AD + BC)，又
∵AD//BC，
∴EF//AD//BC.

11. （安阳模拟）如图，在□ABCD中，AD = 2AB = 6 cm，BE是∠ABC的平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1 cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4 cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t s.
（1）求AE的长.
（2）是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（3）当t为何值时，线段MN将□ABCD的面积二等分?

答案： （1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB = ∠EBC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE = ∠EBC，
∴∠ABE = ∠AEB，
∴AB = AE，
∵AD = 2AB = 6 cm，
∴AB = 3 cm，
∴AE = 3 cm.
（2）存在.
∵AD = 6 cm，AE = 3 cm，
∴DE = AD - AE = 3 cm，由题意得：EM = t cm，CN = 4t cm，当四边形MEBN是平行四边形时，EM = BN，分两种情况：①当点N在线段BC上时，BN = 6 - 4t，
∴t = 6 - 4t，解得t=$\frac{6}{5}$；②当点N在线段BC的延长线上时，BN = 4t - 6，
∴t = 4t - 6，解得t = 2.综上所述，当t=$\frac{6}{5}$或t = 2时，以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形.
（3）当线段MN将□ABCD的面积二等分，则MN必过□ABCD的对角线交点O，过点O作OH⊥BC于点H，作OQ⊥AD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC = 6 cm，OQ = OH，S□ABCD = AD·(OQ + OH)，当MN过点O时，S四边形ABNM = S四边形DCNM=$\frac{1}{2}$S□ABCD，连接AC，
∵点O是AC的中点，点E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//BC，OE=$\frac{1}{2}$BC = 3 cm，
∵AD//BC，
∴∠MDO = ∠NBO，在△DOM和△BON中，$\begin{cases}\angle MDO=\angle NBO \\OD = OB\\\angle DOM=\angle BON\end{cases}$，
∴△DOM≌△BON(ASA)，
∴DM = BN，
∵DM = 3 - t，BN = 6 - 4t或BN = 4t - 6，①当BN = 6 - 4t时，3 - t = 6 - 4t，解得t = 1；②当BN = 4t - 6时，3 - t = 4t - 6，解得t=$\frac{9}{5}$.综上所述，当t = 1或t=$\frac{9}{5}$时，线段MN将□ABCD的面积二等分.