《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

题型02 二次根式的运算
角度一 二次根式的混合运算(易错)
2.(兰州模拟)计算：
(1)$(\sqrt{\frac{8}{27}}-5\sqrt{3})\times\sqrt{6}$；
(2)$(5+\sqrt{6})(5\sqrt{2}-2\sqrt{3})$；
(3)$(4\sqrt{8}-8\sqrt{\frac{1}{8}}+\sqrt{32})\div2\sqrt{2}$。
[名师讲习]

答案： [解]
(1)原式=$\sqrt{\frac{8}{27}}$×$\sqrt{6}$−5$\sqrt{3}$×$\sqrt{6}$
　=$\sqrt{\frac{8}{27}}$×6−5$\sqrt{3×6}$
　=$\frac{4}{3}$−15$\sqrt{2}$
(2)原式=25$\sqrt{2}$−10$\sqrt{3}$+5$\sqrt{12}$−2$\sqrt{18}$
　=25$\sqrt{2}$−10$\sqrt{3}$+10$\sqrt{3}$−6$\sqrt{2}$
　=19$\sqrt{2}$
(3)原式=(8$\sqrt{2}$−2$\sqrt{2}$+4$\sqrt{2}$)÷2$\sqrt{2}$
　=10$\sqrt{2}$÷2$\sqrt{2}$
　=5.

角度二 利用运算律和乘法公式进行二次根式的混合运算
3.计算：
(1)$(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}$；
(2)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1)(\sqrt{2}-\sqrt{3}+1)$；
(3)$(3 + 2\sqrt{2})^{2025}\times(3 - 2\sqrt{2})^{2024}$。

答案： [解]
(1)方法一:原式=(12−4$\sqrt{15}$+5)−(5−2$\sqrt{15}$+3)
　=17−4$\sqrt{15}$−8+2$\sqrt{15}$
　=9−2$\sqrt{15}$
　方法二:原式=[(2$\sqrt{3}$$\sqrt{5}$)+$\sqrt{5}$$\sqrt{3}$)]×[(2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$)−($\sqrt{5}$$\sqrt{3}$))
　=$\sqrt{3}$×(3$\sqrt{3}$−2$\sqrt{5}$)
　=9−2$\sqrt{15}$$\sqrt{3}$
(2)原式=($\sqrt{2}$+1)²−($\sqrt{3}$)²
　=2+2$\sqrt{2}$+1−3
　=2$\sqrt{2}$.
(3)原式=(3+2$\sqrt{2}$)²⁰²⁴×(3−2$\sqrt{2}$)²⁰²⁴×(3+2$\sqrt{2}$)
　=[(3+2$\sqrt{2}$)×(3−2$\sqrt{2}$)]²⁰²⁴×(3+2$\sqrt{2}$)
　=1²⁰²⁴×(3+2$\sqrt{2}$)
　=3+2$\sqrt{2}$