《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

7.（连云港模拟）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E，F分别是AD和CD边上的动点，则四边形BEFG周长的最小值为________.
　　　　　　　　

答案： 24

8.如图，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角板的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.
（1）如图1，连接点E与AD边的中点N，当点E在AB边的中点位置时，
①猜想DE与EF满足的数量关系是________；
②猜想NE与BF满足的数量关系是________；
③请证明上述两个猜想.
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找一点N，使得NE = BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系（无需证明）.
　 　　　

答案： （1）①DE = EF ②NE = BF ③证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A = ∠ABC = 90°，AB = AD.由N，E分别为AD，AB的中点可知，DN = AN = 1/2AD，AE = EB = 1/2AB，
∴DN = EB，AN = AE.
∴∠ANE = 45°，∠DNE = 180° - 45° = 135°.
∵BF平分∠CBM，
∴∠CBF = 45°.
∴∠EBF = ∠EBC + ∠CBF = 90° + 45° = 135°.
∴∠DNE = ∠EBF.
∵∠DEF = 90°，
∴∠BEF + ∠DEA = 90°.
∵∠NDE + ∠DEA = 90°，
∴∠NDE = ∠BEF.
∴△DNE≌△EBF（ASA）.
∴DE = EF，NE = BF.
（2）解：在DA边上截取DN = EB（或截取AN = AE），连接NE（图略），则点N即为所求的点，此时DE = EF.