《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

2.二次根式的三个性质
(1)$\sqrt{a}(a \geq 0)$具有双重 性。
(2)$(\sqrt{a})^2 = (a \geq 0)$。
(3)$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} (a \geq 0) \\ (a ＜ 0) \end{cases}$。

答案： （1）非负 （2）$a$ （3）$a$；$-a$

3.代数式的定义
用基本 (基本运算包括加、 、乘、 、乘方和 )把数或表示数的 连接起来的式子称为代数式。

答案： 运算符号；减；除；开方；字母

1.判断对错(对的打√，错的打×)
(1)无论$x$取任何实数，$\sqrt{x^2 + 2}$一定是二次根式。( )
(2)若式子$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是$x \geq 1$。( )
(3)当$x = -2$时，二次根式$\sqrt{2 - 7x}$的值是3。( )

答案： （1）√ （2）× （3）×

2.若$\sqrt{20n}$是整数，则正整数$n$的最小值为 。

答案： 5

3.算式$-\sqrt{(-3)^2}$的结果为 。

答案： -3

4.化简$(\sqrt{2 - x})^2 + |x - 2|$的结果为 。

答案： 4 - 2x

题型剖析·题型分类探究
题型01 根据二次根式有意义的隐含条件求值
1.若$m = \frac{\sqrt{16 - n^2} + \sqrt{n^2 - 16}}{n + 4} - 3$，求$(m + n)^{2024}$的值。
[名师讲习]已知条件中只有一个等式且没有给出任何字母的值，要想解决问题，就要根据二次根式的被开方数是非负数，确定字母的取值范围，在取值范围内确定$n$的值，从而确定$m$的值，进而求解。

[解]由题意，得$\begin{cases}16 - n^2\geqslant0\\n^2 - 16\geqslant0\\n + 4\neq0\end{cases}$，则$\begin{cases}n^2 = 16\\n\neq - 4\end{cases}$，

解得$n = 4$。所以$m = - 3$。

故$(m + n)^{2024}=(-3 + 4)^{2024}=1$。

答案：

题型02 根据二次根式化简结果的性质求值
2.（1）若$\sqrt{10 - n}$是正整数，则整数$n$的最大值是 ；
（2）若$\sqrt{12n}$是正整数，则整数$n$的最小值是 。
[名师讲习]
|二次根式是正整数|$10 - n ＞ 0$，$n ＜ 10$，$n_{最大}=9$；$12n ＞ 0$，$n ＞ 0$，$\sqrt{12n}$是正整数，$n_{最小}=3$|
[正确答案]（1）9 （2）3

答案：