《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

7.在△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)若a∶c = 15∶17，b = 24，求a，c；
(2)若c - a = 4，b = 12，求a，c；
(3)若已知△ABC中有两边长分别为6和8，求第三条边长.

答案：

解：$(1)$
∵在$\triangle A B C$中，$\angle C = 9 0 ^{\circ} ，$$ \angle A ，$$ \angle B ，$$ \angle C$的对边分别为$a,b,c,\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}.$　　

$\because a : c = 1 5 : 1 7 , \therefore$设$a=15x,$则$c=17x,$　　

$\therefore (1 5 x)^{2} + 2 4^{2} = (1 7 x)^{2} ,$解得$x=3（$负值已舍去$）。$　　

$\therefore a = 1 5 x = 4 5 , c = 1 7 x = 5 1 .$　　

$(2)$
∵在$\triangle A B C$中，$\angle C = 9 0 ^{\circ} ，$$ \angle A ，$$ \angle B ，$$ \angle C$的对边分别为$a,b,c,\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}.$　　

$\because c - a = 4 , \therefore c = a + 4 .$　　

$\therefore a^{2} + 1 2^{2} = (a + 4)^{2}.$解得$a=16.$　　

$\therefore c = a + 4 = 2 0 .$　　

$(3)$当第三条边是斜边时，　　

第三条边长为$\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{1 0 0} = 1 0 ;$　　

当第三条边是直角边时，　　

第三条边长为$\sqrt{8^{2} - 6^{2}} = \sqrt{2 8} = 2 \sqrt{7}.$　　

综上，第三条边长为$10$或$2 \sqrt{7}.$　　

8.(太原月考)如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB = 5 cm，BC = 13 cm.
(1)图中哪些线段的长相等?
(2)求EC的长.
　　　　　　

答案：

解：$(1)$题图中长度相等的线段有$AD=BC=AF,DE=EF,AB=CD.$　　

$(2)$根据折叠的性质可得$△AEF≌△AED,$　　

所以$AF=AD=BC=13cm,DE=EF.$　　

设$EC=x cm,$则$DE=(5-x) cm,$　　

所以$EF=(5-x) cm.$　　

在$Rt△ABF$中，$B F^{2} = A F^{2} - A B^{2} = 1 4 4 ，$　　

所以$BF=12cm,$则$FC=BC-BF=1cm.$　　

在$Rt△CEF$中，由勾股定理，得　　

$E C^{2} + F C^{2} = E F^{2} ,$　　

即$x^{2} + 1^{2} = (5 - x)^{2} ，$解得$x=2.4,$　　

所以$EC$的长为$2.4 cm.$　　

9.(济南期末)入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造.管道A→B改造方案如图所示(实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直).
(1)求改造前原有管道的长度；
(2)求改造后A，B之间的管道长度减少了多少.
　　　

答案：
解：$170+30+120+70+100+20=510(m).$　　
答：改造前原有管道的长度是$510 m.$　　
$(2)$如图，过点$B$作。$B C \perp A M$于点$C.$　　

由图可知，　　
$AC=170-(120-100)=170-20=150(m),BC=30+(70-20)=30+50=80(m),$　　
$\therefore A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{1 5 0^{2} + 8 0^{2}} = 1 7 0(m).510-170=340(m).$　　
答：改造后$A,B$之间的管道长度减少了$340 m.$　　

10.(教材第30页“阅读与思考”改编)(台州期末)如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a，b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并利用此图形证明勾股定理.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：方法一：如图所示。　　

证明：大正方形面积可表示为$((a + b)^{2} ，$也可表示为$c^{2} + 4 × \frac{1}{2}a b ，$　　
$\therefore(a + b)^{2} = c^{2} + 4 × \frac{1}{2}a b .$　　
$\therefore a^{2} + 2 a b + b^{2} = c^{2} + 2 a b .$　　
即$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$　　
方法二：如图所示。　　
证明：大正方形面积可表示为$c^{2} ，$也可表示为$\frac{1}{2}a b × 4 + (b - a)^{2} ,\therefore c^{2} = \frac{1}{2}a b × 4 + (b - a)^{2}.$　　
$\therefore c^{2} = 2 a b + b^{2} - 2 a b + a^{2}.$　　
即$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$