《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

2.如果$\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{1 - x} = \sqrt{(x + 1)(1 - x)}$成立，那么（ ）
A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≥-3 D.x＞1
[名师讲习]根据二次根式的乘法法则成立的前提条件，可得$\begin{cases}x + 1 \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{cases}$，求解x的取值范围。
[正确答案]B

答案：

3.（长春模拟）等式$\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{9 - x}} = \sqrt{\frac{x + 2}{9 - x}}$成立的条件是（ ）
A.x＞-2 B.x＜9 C.-2≤x＜9 D.-2≤x≤9
[名师讲习]根据二次根式的除法法则成立的前提条件，可得$\begin{cases}x + 2 \geq 0 \\ 9 - x ＞ 0 \end{cases}$，求解x的取值范围。
[正确答案]C

[解法指导]
由二次根式的除法法则可知$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$成立的条件是a≥0，b＞0.

答案：

4.计算：
（1）$\sqrt{30} \div 3\sqrt{1\frac{3}{5}} \times \frac{2}{3}\sqrt{6\frac{2}{3}}$；
（2）$\frac{2}{b}\sqrt{ab^{5}} \cdot (-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b}) \div 3\sqrt{\frac{b}{a}}$（a＞0，b＞0）.
[解]（1）$\sqrt{30} \div 3\sqrt{1\frac{3}{5}} \times \frac{2}{3}\sqrt{6\frac{2}{3}}$
=$\sqrt{30} \times \frac{1}{3}\sqrt{\frac{5}{8}} \times \frac{2}{3}\sqrt{\frac{20}{3}}$
=（$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}$）×（$\sqrt{30} \times \sqrt{\frac{5}{8}} \times \sqrt{\frac{20}{3}}$）
=$\frac{2}{9}\sqrt{30\times\frac{5}{8}\times\frac{20}{3}}$
=$\frac{2}{9}\sqrt{125}$ = $\frac{2}{9}\sqrt{5\times5\times5}$
=$\frac{10}{9}\sqrt{5}$
（2）$\frac{2}{b}\sqrt{ab^{5}} \cdot (-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b}) \div 3\sqrt{\frac{b}{a}}$
=$\frac{2}{b} \cdot (-\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{3}\sqrt{ab^{5} \cdot a^{3}b \cdot \frac{a}{b}}$
=-$\frac{1}{b}\sqrt{a^{5}b^{5}}$ = -$a^{2}b\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）.

答案：

5.把下列各式化成最简二次根式.
（1）$\sqrt{24a}$；
（2）$\sqrt{1.25}$；
（3）$\sqrt{4a^{3}b + 8a^{2}b}$（a≥0，b≥0）；
（4）$\sqrt{-\frac{n}{m^{2}}}$（mn＞0）；
（5）$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$（x≠y）.
[名师讲习]
（1）先把被开方数分解，再运用积的算术平方根的性质化简即可.
（2）将被开方数化为分数，然后再开方，化为最简二次根式即可.
（3）将被开方数提取公因式，再开方即可.
（4）根据题意得出m＜0，n＜0，然后根据负数的平方再开方等于它的相反数开方即可.
（5）将分子、分母同乘$\sqrt{x} - \sqrt{y}$，然后利用平方差公式和完全平方公式化简即可.

[解]（1）$\sqrt{24a}$ = $\sqrt{4\times6a}$ = 2$\sqrt{6a}$
（2）$\sqrt{1.25}$ = $\sqrt{\frac{5}{4}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
（3）$\sqrt{4a^{3}b + 8a^{2}b}$ = $\sqrt{4a^{2}(ab + 2b)}$ = 2a$\sqrt{ab + 2b}$
（a≥0，b≥0）.
（4）由 -$\frac{n}{m^{2}}$≥0，mn＞0可知，m＜0，n＜0，
∴$\sqrt{-\frac{n}{m^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{-n}}{\sqrt{m^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{-n}}{-m}$ = -$\frac{\sqrt{-n}}{m}$（m＜0，n＜0）.
（5）$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ = $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$
=$\frac{x - 2\sqrt{xy} + y}{x - y}$（x≠y）.

答案：