《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

9.(内江中考)出入相补原理是中国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建的.“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EG+EF=________。

答案： $\frac{60}{13}$

10.如图，在$Rt\triangle ABC$中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，点H在AB上，且∠EHF=90°.求证：CH⊥AB.

答案： 证明：
∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE//BC，DF//AC.
∴四边形CEDF是平行四边形.
又
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形.
∴∠EDF=90°.
∵∠EHF=90°，
∴点E，H，F，D在以EF为直径的圆上.
∵∠ACB=90°，点E，F分别是AC，BC的中点，
∴CE=EF=CF.
∴点C也在以EF为直径的圆上.
∴∠CHE=90°.
∴CH⊥AB.

11.如图，在 ABCD中，对角线BD=12 cm，AC=16 cm，AC，BD相交于点O.若E，F是AC上两个动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，运动速度为0.5 cm/s.
(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由.
(2)点E，F在AC上运动的过程中，以D，E，B，F为顶点的四边形是否可能是矩形？如果可能，请求出此时的运动时间t(单位：s)的值；如果不可能，请说明理由.

答案：
(1)解：四边形DEBF是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵E，F分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，
∴AE=CF.
∴OA - AE=OC - CF，即OE=OF.
又
∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形.
(2)解：以D，E，B，F为顶点的四边形可能是矩形.
分两种情况：
①当点E在OA上时，
若四边形DEBF是矩形，则BD=EF.
∵BD=12 cm，
∴EF=12 cm.
∴$OE=OF=\frac{1}{2}EF=6 cm.$
∵AC=16 cm，
∴OA=OC=8 cm.
∴AE=OA - OE=8 - 6=2 cm.
∵运动速度为0.5 cm/s，
∴$t=\frac{2}{0.5}=4 s.②$当点E在OC上时，
同理可得AE=8 + 6=14 cm.
∴$t=\frac{14}{0.5}=28 s.$综上，当运动时间t的值为4 s或28 s时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形.