《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

6.（达州期末）已知a，b，c满足条件$a^{2}+b^{2}+c^{2}+164=12a+16b+16c$，且△ABC的三边长分别为a+6，b-3，c+5，试判断△ABC的形状.

答案：
∵$a^{2}+b^{2}+c^{2}+164=12a+16b+16c$，
∴$(a^{2}-12a+36)+(b^{2}-16b+64)+(c^{2}-16c+64)=0$.即$(a - 6)^{2}+(b - 8)^{2}+(c - 8)^{2}=0$.
∵$(a - 6)^{2}≥0$，$(b - 8)^{2}≥0$，$(c - 8)^{2}≥0$，
∴a - 6=0，b - 8=0，c - 8=0.
∴a=6，b=8，c=8.
∴△ABC的三边长分别为a+6=12，b-3=5，c+5=13.
∵$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
∴△ABC是直角三角形.

7.（河北中考）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）

A.1，4，5
B.2，3，5
C.3，4，5
D.2，2，4

答案： A

8.（教材第34页习题17.2第7题改编）（苏州月考）定义：若一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组勾股数，如：3，4，5是一组勾股数.
（1）判断8，15，17是不是一组勾股数，并说明理由；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=$n^{2}-1$，z=$n^{2}+1$，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明.

答案： （1）
∵$8^{2}+15^{2}=64+225=289$，$17^{2}=289$，
∴$8^{2}+15^{2}=17^{2}$.又
∵8，15，17都是正整数，
∴8，15，17是一组勾股数.（2）
∵$x^{2}+y^{2}=(2n)^{2}+(n^{2}-1)^{2}=4n^{2}+n^{4}-2n^{2}+1=n^{4}+2n^{2}+1$，$z^{2}=(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$，
∴$x^{2}+y^{2}=z^{2}$.
∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数）.

9.（宝鸡期中）如图，有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 n mile的A，B两个基地出发，6 min后同时到达C处将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120 n mile，乙巡逻艇每小时航行50 n mile，航向为北偏西23°.
（1）求甲巡逻艇的航行方向.
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3 min后，甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里?

答案： （1）由题意，得$AC=120×\frac{6}{60}=12$（n mile），$BC=50×\frac{6}{60}=5$（n mile）.
∵$AC^{2}+BC^{2}=12^{2}+5^{2}=169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，
∴$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.
∵乙巡逻艇的航向为北偏西23°，
∴甲巡逻艇的航行方向为北偏东67°.（2）3 min后，$AC'=120×\frac{3}{60}=6$（n mile），$BC'=50×\frac{3}{60}=2.5$（n mile）.在Rt△AC'B中，由勾股定理，得$A'B=\sqrt{AC'^{2}+BC'^{2}}=\sqrt{6^{2}+2.5^{2}}=6.5$（n mile）.即3 min后，甲、乙两艘巡逻艇相距6.5 n mile.