《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例5 如图所示，在四边形ABCD中，AB = CD，∠ADB = ∠CBD = 90°。求证：四边形ABCD是平行四边形。

[证明]方法一:∵∠ADB=∠CBD=90°,
　∴△ABD和△CDB是直角三角形.
　在Rt△ABD和Rt△CDB中，{ABBD==CDDB,,
　∴Rt△ABD≌Rt△CDB.∴∠ABD=∠CDB,∠A=∠C.
　∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB,即∠ABC=∠CDA.
　∴四边形ABCD是平行四边形.
方法二:∵∠ADB=∠CBD=90°,
　∴△ABD和△CDB是直角三角形.
　在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB=CD,
　　　　　　　　　　　　　{BD=DB,
　∴Rt△ABD≌Rt△CDB.∴∠ABD=∠CDB.∴AB//CD.
　又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形，
方法三:∵∠ADB=∠CBD=90°'
　∴△ABD和△CDB是直角三角形.
　在Rt△ABD和Rt△CDB中，{ABBD==CDDB,,
　∴Rt△ABD≌Rt△CDB.∴DA=BC.
　又∵AB=CD,,∴四边形ABCD是平行四边形..
方法四:∵∠ADB=∠CBD=90°,
　∴△ABD和△CDB是直角三角形，AD/BC.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，{ABDB==CDDB,,
　∴Rt△ABD≌Rt△CDB.∴∠ABD=∠CDB.∴AB//CD.　　　　
　∴四边形ABCD是平行四边形.两组x对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法五:如图所示，连接AC,交BD于点O.
　∵∠ADB=∠CBD=90°,
　∴△ABD和△CDB是直角三角形.
　
　在Rt△ABD和Rt△CDB中，{ABDB==CDDB,,
　∴Rt△ABD≌Rt△CDB..∴∠ABD=∠CDB.　　　　　　　　　　
　在△COD和△AOB中，∠COD=∠AOB,∠CDO=∠ABO,CD=AB,
　∴△COD≌△AOB.∴OC=OA,OD=OB.
　∴四边形ABCD是平行四边形.

答案：