《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

11.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，……按照此规律继续下去，则S₂₀₂₇的值为________.
[名师讲习]
　

答案： $(\frac{1}{2})^{2024}$

12.如图所示，在△ABC中，已知∠C = 90°，AC = 8，BC = 6，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→C方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点Q从点C开始沿C→B→A方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为t秒.
(1)出发2秒后，求线段PQ的长.
(2)当t为何值时，△APB是等腰三角形?
(3)当点Q在边BA上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.
　　

答案：

(1)当t = 2时，Q在CB上，P在AC上，CQ = 2t = 2×2 = 4，CP = 8 - t = 8 - 2 = 6.则$PQ = \sqrt{CQ² + CP²} = \sqrt{4² + 6²} = 2\sqrt{13}.$

(2)当△APB是等腰三角形时，有AP = BP = t，则CP = 8 - t.在Rt△CPB中，由勾股定理，得6² + (8 - t)² = t²，
∴$t = \frac{25}{4}.$因此，当t为$\frac{25}{4}$时，△APB是等腰三角形.
(3)当点Q在边BA上运动时，BQ = 2t - 6，若△CBQ为等腰三角形，则分三种情况：①若CQ = BQ，如图3，则∠B = ∠BCQ.
∵∠B + ∠A = ∠BCQ + ∠ACQ = 90°，
∴∠A = ∠ACQ.
∴AQ = CQ.在Rt△BCA中，$AB = \sqrt{BC² + AC²} = \sqrt{6² + 8²} = 10，$
∴AQ = CQ = BQ = 5.
∴2t - 6 = 5.
∴$t = \frac{11}{2}.②$若BQ = BC，如图4，则2t - 6 = 6，
∴t = 6.

③若CQ = CB，如图5，过点C作CE⊥AB于点E，则$\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}AB·CE，$BE = QE，
∵$AB = \sqrt{BC² + AC²} = \sqrt{6² + 8²} = 10，$
∴$\frac{1}{2}×8×6 = \frac{1}{2}×10×CE.$
∴$CE = \frac{24}{5}.$
∴$BE = \sqrt{BC² - CE²} = \sqrt{6² - (\frac{24}{5})²} = \frac{18}{5}.$
∴$BQ = \frac{36}{5}.$
∴$2t - 6 = \frac{36}{5}.$
∴$t = \frac{33}{5}.$综上可知，当运动时间为$\frac{11}{2}$秒或6秒或$\frac{33}{5}$秒时，△CBQ为等腰三角形.