《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

7.在平面直角坐标系中，过一点分别作两坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积的值相等，则点P是和谐点.
（1）判断点M(3,6)，N(2,2)是不是和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P(a,4)在直线y=2x+b(b是常数)上，求a，b的值.

答案： （1）点M(3,6)是和谐点，点N(2,2)不是和谐点.理由如下：过点M，N分别作x轴、y轴的垂线（图略），则与坐标轴分别围成矩形OAMB、矩形OANB，所以矩形OAMB的周长是2×(3+6)=18，面积是3×6=18，矩形OANB的周长是2×(2+2)=8，面积是2×2=4.因为18=18，8≠4，所以点M(3,6)是和谐点，点N(2,2)不是和谐点.
（2）因为和谐点P(a,4)在直线y=2x+b(b是常数)上，所以2a+b=4.因为四边形OAPB的周长是2(|a|+4)，面积是4|a|，且点P(a,4)是和谐点，所以2(|a|+4)=4|a|，即|a|=4.所以a=4或a=-4.①当a=4时，代入2a+b=4，得2×4+b=4，解得b=-4.②当a=-4时，代入2a+b=4，得2×(-4)+b=4，解得b=12.综上所述，a=4，b=-4或a=-4，b=12.

8.某服装厂现有甲种布料42 m，乙种布料30 m，现计划用这两种布料生产M，L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8 m，乙种布料1.1 m，可获利45元；做一件L型号的校服需用甲种布料1.2 m，乙种布料0.5 m，可获利30元.该厂生产M型号的校服多少件，可获得最大利润？最大利润是多少？

答案： 设生产M型号的校服x件，由题意，得$\begin{cases}0≤0.8x+1.2(40-x)≤42\\0≤1.1x+0.5(40-x)≤30\end{cases}，$解得$15≤x≤\frac{50}{3}.$
∵x为正整数，
∴x可取15，16.设利润为y元，则$y=45x+30(40-x)=15x+1200(15≤x≤\frac{50}{3}).$
∵y=15x+1200是一次函数，且k=15＞0，
∴y随x的增大而增大，即当x=16时，y取最大值，最大值为15×16+1200=1440.
∴该厂生产M型号的校服16件，可获得最大利润，最大利润是1440元.