《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

9.如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠DAC = ∠DBC.
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE = OF.
　　　　　　　

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，∠BAD = 2∠DAC，∠ABC = 2∠DBC，
∴∠BAD + ∠ABC = 180°.
∵∠DAC = ∠DBC，
∴∠BAD = ∠ABC，再根据∠BAD + ∠ABC = 180°，证出∠BAD = 90°，即可得出结论.
（2）证明：由（1）知四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC = BD，CO = 1/2AC，DO = 1/2BD.
∴∠COB = ∠DOC = 90°，CO = DO.
∵DH⊥CE，
∴∠DHE = 90°.
∴∠FDO + ∠DEH = 90°.
∵∠ECO + ∠DEH = 90°，
∴∠ECO = ∠FDO.在△ECO和△FDO中，{∠ECO = ∠FDO，CO = DO，∠COE = ∠DOF = 90°，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE = OF.

1. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A.邻边相等
B.四个角都是直角
C.对角线相等
D.对角线互相平分

答案： D

2. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列能判断四边形ABCD是正方形的条件是（ ）
　　　　　　　
A.AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
B.AB = BC = CD = DA
C.AO = CO，BO = DO，AC⊥BD
D.AB = BC，CD⊥DA

答案： A