《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

题型03 平行四边形的判定方法的应用
9.如图所示，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，BF=DE，四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？

答案：
方法一：四边形ABCD是平行四边形.因为BF=DE，所以BF-EF=DE-EF，即BE=DF.因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEB=∠CFD=90°.又因为AE=CF，所以△ABE≌△CDF.所以AB=CD.因为AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，所以△AED≌△CFB.所以AD=CB.所以四边形ABCD是平行四边形.
方法二：四边形ABCD是平行四边形.因为BF=DE，所以BF-EF=DE-EF，即BE=DF.因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEB=∠CFD=90°.又因为AE=CF，所以△ABE≌△CDF.所以∠ABE=∠CDF，∠BAE=∠DCF.因为AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，所以△AED≌△CFB.所以∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF.所以∠ABE+∠CBF=∠CDF+∠ADE，∠BAE+∠DAE=∠DCF+∠BCF，即∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD.所以四边形ABCD是平行四边形.
方法三：四边形ABCD是平行四边形.因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AED=∠CFB=90°.又因为AE=CF，DE=BF，所以△ADE≌△CBF.所以∠ADE=∠CBF.所以AD//BC.同理，AB//CD.所以四边形ABCD是平行四边形.
方法四：四边形ABCD是平行四边形.因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AED=∠CFB=90°.又因为AE=CF，DE=BF，所以△ADE≌△CBF.所以AD=CB，∠ADE=∠CBF.所以AD//CB.所以四边形ABCD是平行四边形.
方法五：四边形ABCD是平行四边形.连接AC，交BD于点O.

因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEO=∠CFO=90°.又因为AE=CF，∠AOE=∠COF，所以△AOE≌△COF.所以AO=CO，EO=FO.又因为BF=DE，所以BF-FO=DE-EO，即BO=DO.所以四边形ABCD是平行四边形.

题型04 综合运用平行四边形的判定和性质进行证明或计算（易错）
10.（郑州期末）如图，在□BCED中，F是DE的中点，连接CF并延长交BD的延长线于点A，连接AE，CD.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=2，求四边形ADCE的面积.

答案：
（1）证明：因为四边形BCED是平行四边形，所以BD//CE.所以∠ACE=∠CAD，∠CED=∠ADE.因为F是DE的中点，所以EF=DF.所以△CEF≌△ADF（AAS）.所以CE=AD.因为CE//AD，所以四边形ADCE是平行四边形.
（2）解：过点C作CM⊥AB交AB于点M.

因为∠CAB=45°，AC=2，所以CM=AM=√2.因为∠B=30°，所以BC=2CM=2√2.所以BM=√(BC²-CM²)=√6.所以AB=√2+√6.因为四边形BCED是平行四边形，所以BD=CE.因为四边形ADCE是平行四边形，所以AD=CE.所以AD=BD=1/2AB=(√2+√6)/2.所以四边形ADCE的面积为AD·CM=((√2+√6)/2)×√2=1+√3.