《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

例$1 $如图，在矩形$ABCD$中，$AC$与$BD$交于点$O，$$BE⊥AC，$$CF⊥BD，$垂足分别为$E，$$F。$　　
$(1)$求证：$BE = CF；$　　
$(2)$若$∠AOB = 60°，$$AB = 8，$求矩形$ABCD$的面积。　　

$(1)[$证明$]$∵四边形$ABCD$是矩形，　　
$\therefore A C = B D , O A = O C = \frac{1}{2}A C ，$$ O B = O D = \frac{1}{2}B D .$　　
$\therefore O B = O C . \because B E \perp A C , C F \perp B D ,$　　
$\therefore \angle B E O = \angle C F O = 9 0 ^{\circ} .$　　
在$\triangle B E O$和$\triangle C F O$中$\begin{cases}\angle B O E = \angle C O F ， \cr \angle B E O = \angle C F O ， \cr O B = O C , \end{cases}$　　
∴$△BEO≌△CFO(AAS),$∴$BE=CF.$　　
$(2)[$解$]$∵四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle A B C = 9 0 ^{\circ} ，$$ O A = O B ，$　　
∵$∠AOB=60°,$∴$△AOB$是等边三角形$.$　　
$\therefore A O = O B = A B = 8 . \therefore A C = 1 6 .$　　
在$R t \triangle A B C$中，由勾股定理，得$B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{1 6^{2} - 8^{2}} = 8 \sqrt{3} ，$　　
∴矩形$ABCD$的面积是$A B \cdot B C = 8 × 8 \sqrt{3} = 6 4 \sqrt{3}.$　　

答案：