《2025年星推荐涂教材八年级数学下册人教版》

题型05 二次根式混合运算的实际应用
7.如图所示，有一张边长为$6\sqrt{2}$cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为$\sqrt{2}$cm。
(1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
(2)求长方体盒子的体积。

答案： [解]
(1)制作长方体盒子的纸板的面积为(6$\sqrt{2}$)²−4×($\sqrt{2}$)²=64(cm²).
(2)长方体盒子的体积为(6$\sqrt{2}$−2$\sqrt{2}$)×(6$\sqrt{2}$−2$\sqrt{2}$)×$\sqrt{2}$=32$\sqrt{2}$(cm²).

题型06 与二次根式的混合运算有关的规律探究题
8.观察下列运算：
由$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$；
由$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
由$(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1$，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$；
……
(1)通过观察上述运算你能得出什么规律？
(2)利用(1)中你发现的规律计算：$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}})\times(1+\sqrt{2025})$。

答案： $[$解$](1)$可以发现$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$与$\sqrt{n+1}−\sqrt{n}$互为倒数$,$即$\frac{1}{n+1+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$　　

$(2)$由$(1),$得　　

$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1 , \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} , \cdots ,$　　

$\frac{1}{\sqrt{2 0 2 5} + \sqrt{2 0 2 4}} = \sqrt{2 0 2 5} - \sqrt{2 0 2 4} ,$　　

所以原式$= [(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{2 0 2 5} -\sqrt{2 0 2 4})] × (1 + \sqrt{2 0 2 5})$　　

$= (\sqrt{2 0 2 5} - 1) × (\sqrt{2 0 2 5} + 1)$　　

$= (\sqrt{2 0 2 5})^{2} - 1^{2}$　　

$=2025-1$　　

$=2024.$