《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

9. (1)【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，求证△ABD∽△ACE。
(2)【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC = ∠DAE = 90°，∠ABC = ∠ADE = 30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，$\frac{AD}{BD}=\sqrt{3}$，求$\frac{DF}{CF}$的值。
(3)【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD = ∠CBD = 30°，∠BDC = 90°，AB = 4，AC = $2\sqrt{3}$，直接写出AD的长。

答案：
9.
(1)略.
(2)如图①，连接CE，设BD=t，则AD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$t.
　　　　　　
　依题意，得△ADE∽△ABC.
　由
(1)得△ACE∽△ABD,∠ACE=∠B = 30°.
∴$\frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t.
∴$\frac{AD}{CE}=3$.
∵∠ADE=∠ACE = 30°,∠AFD=∠EFC,
∴△ADF∽△ECF.
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{CE}=3$.
(3)如图②.以AB为边作Rt△ABE，其中∠AEB = 90°,∠ABE = 30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4 = 2.

∴△BCD∽△BAE.
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{AB}{BC}$.
又
∵∠EBD=∠ABC,
∴△BDE∽△BCA.
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴DE = 3.
又
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD = 60°+30°=90°,
∴在Rt△ADE中，求得AD=$\sqrt{DE^{2}-AE^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$