《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD = 4，CD = 2，求AB的长.
分析：利用角平分线的性质，将已知边变换到一个直角三角形中.
解：过点D作DE⊥AB于点E.∵AD平分∠BAC，∠C = 90°，∴DE = CD = 2.在Rt△BDE中，sin B = $\frac{DE}{DB}=\frac{1}{2}$，∴∠B = 30°.在Rt△ABC中，cos B = $\frac{CB}{AB}$，∴AB = $4\sqrt{3}$.

答案：

（长沙中考）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，向正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向的B处.这时轮船所在的B处与小岛A的距离是（ ）.
A.$30\sqrt{3}$ n mile B.60 n mile
C.120 n mile D.$(30 + 30\sqrt{3})$ n mile
解析：过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ACD = 30°，∠BCD = 45°，AC = 60 n mile.
在Rt△ACD中，sin∠ACD = $\frac{AD}{AC}$，cos∠ACD = $\frac{CD}{AC}$，
∴AD = AC·sin∠ACD = 60×$\frac{1}{2}$ = 30（n mile），CD = AC·cos∠ACD = 60×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $30\sqrt{3}$（n mile）.
在Rt△DCB中，∠BCD = ∠B = 45°，∴BD = CD = $30\sqrt{3}$ n mile.
∴AB = AD + BD = $(30 + 30\sqrt{3})$ n mile.
故这时轮船所在的B处与小岛A的距离是$(30 + 30\sqrt{3})$ n mile.故选D.

答案：