《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

8. 【阅读理解】如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形。如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。
【解决问题】
(1)如图①，∠A = ∠B = ∠DEC = 45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由。
(2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上。试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点。
(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处。若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。

答案：

(1)是，理由略。
(2)如图所示。
(3)$\because$点$E$是矩形$ABCM$的边$AB$上的一个强相似点，$\therefore\triangle AEM\sim\triangle BCE\sim\triangle ECM$，$\angle BCE=\angle ECM=\angle AEM$。由折叠可知：$\triangle ECM\cong\triangle DCM$，$\therefore\angle ECM=\angle DCM$，$CE = CD$。$\therefore\angle BCE = 30^{\circ}$，$BE=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AB$。在$Rt\triangle BCE$中，设$BE = x$，则$CE = AB = 2x$，$\therefore BC=\sqrt{CE^{2}-BE^{2}}=\sqrt{3}x$。$\therefore\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。