《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例2 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则$\frac{AD}{AB}=$______。
分析：当DE//BC时，△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比可以求出相似比。
解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC。
∵S_{△ADE}=S_{四边形BCED}，∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}$。
故$\frac{AD}{AB}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案：

1. (兰州中考)如图，在△ABC中，AB = 12，AC = 10，BC = 9，AD是BC边上的高。将△ABC按图示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为________。
解析：结合轴对称的性质，利用相似三角形中周长的比等于相似比，可计算得△DEF的周长为15.5。

答案： 结合轴对称的性质，利用相似三角形中周长的比等于相似比，可计算得△DEF的周长为15.5。

2. (武汉中考)如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于点G，H。若DG = m，EH = n，用含m，n的式子表示GH的长是________。
解析：根据折叠的性质得到△BDE≌△FDE，根据条件“DE平分等边三角形ABC的面积”得S_{四边形ACED}=S_{△BDE}=S_{△FDE}，推出S_{△FHG}=S_{△ADG}+S_{△CHE}。根据∠A = ∠B = ∠C = 60°，可以证明△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG。
∴$\frac{S_{△ADG}}{S_{△FHG}}=(\frac{DG}{GH})^2=\frac{m^2}{GH^2}$，$\frac{S_{△CHE}}{S_{△FHG}}=(\frac{EH}{GH})^2=\frac{n^2}{GH^2}$。
∴$\frac{S_{△ADG}}{S_{△FHG}}+\frac{S_{△CHE}}{S_{△FHG}}=\frac{m^2 + n^2}{GH^2}=\frac{S_{△ADG}+S_{△CHE}}{S_{△FHG}} = 1$。
∴GH^{2}=m^{2}+n^{2}。故答案为：GH=$\sqrt{m^{2}+n^{2}}$。

答案： 根据折叠的性质得到△BDE≌△FDE，根据条件“DE平分等边三角形ABC的面积”得S_{四边形ACED}=S_{△BDE}=S_{△FDE}，推出S_{△FHG}=S_{△ADG}+S_{△CHE}。根据∠A = ∠B = ∠C = 60°，可以证明△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG。
∴$\frac{S_{△ADG}}{S_{△FHG}}=(\frac{DG}{GH})^2=\frac{m^2}{GH^2}$，$\frac{S_{△CHE}}{S_{△FHG}}=(\frac{EH}{GH})^2=\frac{n^2}{GH^2}$。
∴$\frac{S_{△ADG}}{S_{△FHG}}+\frac{S_{△CHE}}{S_{△FHG}}=\frac{m^2 + n^2}{GH^2}=\frac{S_{△ADG}+S_{△CHE}}{S_{△FHG}} = 1$。
∴GH^{2}=m^{2}+n^{2}。故答案为：GH=$\sqrt{m^{2}+n^{2}}$。