《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

19. 如图，在平面直角坐标系中，$OA = AB$，$\angle OAB = 90^{\circ}$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$A$，$B$两点．若点$A$的坐标为$(n,1)$，求$k$的值．

答案：
19.如图，过点A作AE⊥x轴于点E.过点B作BF⊥x轴于点F，过点B作BC⊥y轴于点C，交AE 于点G，则AG⊥BC.
∵∠OAE + ∠BAG = ∠OAE + ∠AOE = 90°,
∴∠BAG = ∠AOE.
　又
∵∠AEO = ∠AGB = 90°，OA = AB,
　
∴△AOE≌△BAG.
∴BG = AE = 1,AG = OE = n.
∵点A的坐标为(n,1)，
∴点B的坐标为(n + 1,1 - n).
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过A,B 两点，
∴n×1=(n + 1)(1 - n)=k，整理得n² + n - 1 = 0.
　解得n₁ = $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$,n₂ = $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去负值).
∴k = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
　　　　　　

20. 如图，函数$y_{1}=k_{1}x + b$的图象与函数$y_{2}=\frac{k_{2}}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(2,1)$，$B$，与$y$轴交于点$C(0,3)$．
(1)求函数$y_{1}$的解析式和点$B$的坐标．
(2)观察图象，当$x＞0$时，比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小．

答案： 20.
(1)由题意，得$\begin{cases}2k_{1}+b = 1\\b = 3\end{cases}$
　解得$\begin{cases}k_{1}=-1\\b = 3\end{cases}$，
∴y₁ = -x + 3.
　又
∵点A在函数y₂ = $\frac{k_{2}}{x}$的图象上，
∴1 = $\frac{k_{2}}{2}$，k₂ = 2.
∴y₂ = $\frac{2}{x}$
　设点B的坐标为(m,n)，则$\begin{cases}n=-m + 3\\n=\frac{2}{m}\end{cases}$
　解得$\begin{cases}m_{1}=1\\n_{1}=2\end{cases}$，$\begin{cases}m_{2}=2\\n_{2}=1\end{cases}$.
∴点B的坐标为(1,2).
(2)当0＜x＜1或x＞2时，y₁＜y₂;
　当1＜x＜2时，y₁＞y₂;
　当x = 1或x = 2时，y₁ = y₂.