《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例2 如图，点$A(-2,n)$，$B(1,-2)$是一次函数$y = kx + b$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式。
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的$x$的取值范围。
（3）若$C$是$x$轴上一动点，设$t = CB - CA$，求$t$的最大值，并求出此时点$C$的坐标。
分析：（1）根据点$A(-2,n)$，$B(1,-2)$是一次函数$y = kx + b$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点，首先求出$m$的值，再求出$n$的值，最后列二元一次方程组求出一次函数解析式的系数。
（2）根据反比例函数和一次函数的图象可以直接写出满足条件的$x$的取值范围。
（3）作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$，连接$BA'$并延长，交$x$轴于点$C$，则点$C$即为所求，求出点$A'$的坐标，利用勾股定理求出$A'B$的长度。
解：（1）∵点$A(-2,n)$，$B(1,-2)$是一次函数$y = kx + b$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点，∴$m = -2$，即反比例函数的解析式为$y = -\frac{2}{x}$。
∴$n = 1$，点$A(-2,1)$。
∵点$A(-2,1)$，$B(1,-2)$是一次函数$y = kx + b$的图象上两点，
∴$\begin{cases}-2k + b = 1 \\ k + b = -2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = -1 \end{cases}$。
故一次函数的解析式为$y = -x - 1$。
（2）结合图象知：当$-2＜x＜0$或$x＞1$时，一次函数的值小于反比例函数的值。
（3）如图，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$，连接$BA'$并延长，交$x$轴于点$C$，则点$C$即为所求。
∵点$A(-2,1)$，∴点$A'(-2,-1)$。
设直线$A'B$的解析式为$y = px + q$，

∴$\begin{cases}-1 = -2p + q \\ -2 = p + q \end{cases}$，解得$\begin{cases}p = -\frac{1}{3} \\ q = -\frac{5}{3} \end{cases}$。∴$y = -\frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$。
令$y = 0$，得$x = -5$，则点$C$的坐标为$(-5,0)$。
当$t = CB - CA$有最大值时，$t = CB - CA = CB - CA' = A'B$，
∴$t_{max} = A'B = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-1 + 2)^2} = \sqrt{10}$。

答案：