《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

考题聚焦
1.(武汉中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

(1)求证DE是⊙O的切线.
(2)若$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，求$\frac{AF}{DF}$的值.
解析：(1)连接OD，只要得出OD⊥DE即可；(2)属于圆外直角的问题，可以过切点作半径构造矩形.连接OD，BC，相交于点G，如图，再根据已知条件，可求得$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{OD}=\frac{8}{5}$.

答案：

2.(武汉中考)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA = PB.

(1) 求证PB是⊙O的切线.
(2) 若∠APC = 3∠BPC，求$\frac{PE}{CE}$的值.
解析：(1)略.
(2)连接BC，根据图形的轴对称性，将条件∠APC = 3∠BPC转化为∠OPC = ∠CPB.由OP垂直平分AB，AC是直径，推出OP//BC.由∠OPC = ∠PCB，推出∠PCB = ∠CPB，从而得到BC = BP.设PF = x，OF = t，则BC = PB = 2t.
由$PB^{2}=PF·PO$，得$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}t$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}t$(舍去负值).
再根据△PFE∽△CBE，得$\frac{PE}{CE}=\frac{PF}{BC}=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$.

答案：