《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

1. 在直角三角形中，当锐角确定时，三边的比是确定的。换言之，直角三角形三边的比随某一锐角的大小变化而变化。对于直角三角形中某一锐角的每一个确定的值，它的任意两边的比都有______________的值与它对应。

答案：

2. 在直角三角形中我们定义了锐角的正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们都是关于锐角的一种函数，叫锐角______函数。一个锐角，不管它在不在直角三角形中，都存在确定的正弦、余弦、正切值，我们可以构造直角三角形求出它。

答案：

例1 下列式子中错误的是(　　　)。
A. $\cos 40^{\circ}=\sin 50^{\circ}$
B. $\tan 15^{\circ}\cdot\tan 75^{\circ}=1$
C. $\sin ^{2}25^{\circ}+\cos ^{2}25^{\circ}=1$
D. $\sin 60^{\circ}=2\sin 30^{\circ}$
分析：锐角的三角函数之间存在一些数量关系。
解：若$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，我们可以证明$\sin A=\cos B$，$\tan A\cdot\tan B = 1$，故A选项和B选项正确。$\sin ^{2}25^{\circ}$即$(\sin 25^{\circ})^{2}$，利用正弦、余弦的定义和勾股定理可得$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A = 1$，故C选项是正确的。$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin 60^{\circ}\neq2\sin 30^{\circ}$，故选D。

答案：

例2 如图，已知$\tan\angle AOB=\frac{4}{3}$，点$P$在边$OA$上，$OP = 5$，点$M$，$N$在边$OB$上，$PM = PN$，如果$MN = 2$，求$PM$的长。
分析：构造直角三角形，将$\angle AOB$放在直角三角形中。
解：如图，过点$P$作$PD\perp OB$于点$D$。
$\because\tan\angle AOB=\frac{PD}{OD}=\frac{4}{3}$，$\therefore$设$PD = 4x$，则$OD = 3x$。
$\because OP = 5$，由勾股定理，得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=5^{2}$，$\therefore x = 1$。$\therefore PD = 4$。
$\because PM = PN$，$PD\perp OB$，$MN = 2$，$\therefore MD = ND=\frac{1}{2}MN = 1$。
在$Rt\triangle PMD$中，$PM=\sqrt{MD^{2}+PD^{2}}=\sqrt{17}$。

答案：