《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，P为△ABC内部一点，且∠APB = ∠BPC = 135°．
(1)求证△PAB∽△PBC.
(2)求证PA = 2PC.
(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为$h_{1}，$$h_{2}，$$h_{3}，$求证$h_{1}^{2}= h_{2}h_{3}．$

答案：

(1)推出∠PBC=∠PAB，结合∠APB=∠BPC = 135°，得△PAB∽△PBC.
(2)由
(1)得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
则PB=$\sqrt{2}$PC，PA=$\sqrt{2}$PB，
∴PA = 2PC.
(3)如图，过点P作PF⊥AB，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为F，D，E，则PF = h₁，PD = h₂，PE = h₃.
由∠APC=∠ACB = 90°，
推出Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴$\frac{PE}{DP}$=$\frac{AP}{PC}$=2，即$\frac{h₃}{h₂}$=2.
∴h₃ = 2h₂.
∵△PAB∽△PBC，
∴$\frac{h₁}{h₂}$=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{2}$，即h₁=$\sqrt{2}$h₂.
∴h₁² = 2h₂² = 2h₂h₂ = h₂h₃.

24. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC = 90°，AD = CD，O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD或边AD于点E.
(1)当点E在边CD上时，
①求证△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求$\frac{AD}{BC}$的值.
(2)若DE = 2，OE = 3，求CD的长.

答案：

(1)①如图①，
∵AD = CD，
∴∠1=∠2.
∵AD//BC，
∴∠1=∠3.
∵BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴OB = OC.
∴∠3=∠4.
∴∠1=∠2=∠3=∠4.
∴△DAC∽△OBC.

②如图①，由∠2=∠3=∠4，可得∠2=∠3=∠4 = 30°，作DH⊥BC于点H，设AD = CD = 2m，那么BH = AD = 2m，在Rt△DCH中，∠DCH = 60°，CD = 2m，
∴CH = m，BC = BH + CH = 3m.
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{2m}{3m}$=$\frac{2}{3}$.
(2)①如图②，当点E在边AD上时，
∵AD//BC，O是AC的中点，
∴OB = OE.
∴四边形ABCE是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴四边形ABCE是矩形.设AD = CD = x，
∵DE = 2，
∴AE = x - 2.
∵OE = 3，
∴AC = BE = 2OE = 6.
在Rt△ACE和Rt△DCE中，由勾股定理可得6²-(x - 2)² = x² - 2².解得x₁ = 1+$\sqrt{19}$，x₂ = 1-$\sqrt{19}$(舍去负值).

②如图③，当点E在边CD上时，设AD = CD = x.
∵DE = 2，
∴CE = x - 2.设OB = OC = m，
∵OE = 3，
∴EB = m + 3.
∵△DAC∽△OBC，
∴$\frac{DC}{OC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{x}{m}$=$\frac{2OC}{BC}$，
∴$\frac{OC}{BC}$=$\frac{x}{2m}$.
∵∠2=∠4，∠BEC=∠CEO，
∴△EOC∽△ECB.
∴$\frac{EO}{EC}$=$\frac{EC}{EB}$=$\frac{OC}{CB}$.
∴$\frac{3}{x - 2}$=$\frac{x - 2}{m + 3}$=$\frac{OC}{CB}$.等量代换得$\frac{3}{x - 2}$=$\frac{x - 2}{m + 3}$=$\frac{x}{2m}$，消去m，化简整理得x² - 6x - 10 = 0.解得x₁ = 3+$\sqrt{19}$，x₂ = 3-$\sqrt{19}$(舍去负值).
综上可知，CD的长为1+$\sqrt{19}$或3+$\sqrt{19}$.